Verteilungsfunktion aus der Dichtefunktion

20.07.2011, 22:23	Hansiwansi	Auf diesen Beitrag antworten »
Verteilungsfunktion aus der Dichtefunktion Hallo! Ich habe folgende Dichtefunktion gegeben: f(x)=0, 5 für 0 <_x<1 1 für 1<_x<1,5 0 sonst Wie erstelle ich denn jetzt hier die Verteilungsfunktion?Ich dachte,dass man die einzelnen Einträge nur aufleiten muss, dann würd es so aussehen: F(x)=0,5x für 0<_x<1 1,5x für 1<_x<1,5 1 für x>_1,5 ist das so richtig?
20.07.2011, 22:31	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Im mittleren Intervall ist das falsch. Die Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray} F(x) \end{eqnarray}$ ist nicht irgendeine Stammfunktion von $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ , sondern stattdessen die spezielle Integralfunktion $\begin{eqnarray} F(x) = \int\limits_{-\infty}^x f(t) ~ \dd t \end{eqnarray}$ . Und genauso ist sie auch zu berechnen. Hilfreich für die sukzessive Berechnung von $\begin{eqnarray} F(x) \end{eqnarray}$ bei solchen stückweise gegebenen Dichten ist die Berechnungsformel $\begin{eqnarray} F(x) = F(x_0) + \int\limits_{x_0}^x f(t) ~ \dd t \end{eqnarray}$ . Hier gilt z.B. für alle $\begin{eqnarray} x\leq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F(x) = \int\limits_{-\infty}^x f(t) ~ \dd t = \int\limits_{-\infty}^x 0 ~ \dd t = 0 \end{eqnarray}$ . Im nächsten Schritt für $\begin{eqnarray} 0<x\leq 1 \end{eqnarray}$ arbeitet man mit $\begin{eqnarray} x_0=0 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} F(x) = F(0) + \int\limits_{0}^x f(t) ~ \dd t = 0 + \int\limits_{0}^x 0.5 ~ \dd t = 0.5x \end{eqnarray}$ . Nun kommt $\begin{eqnarray} 1<x\leq 1.5 \end{eqnarray}$ dran, wobei $\begin{eqnarray} x_0=1 \end{eqnarray}$ gewählt wird: $\begin{eqnarray} F(x) = F(1) + \int\limits_{1}^x f(t) ~ \dd t = 0.5 + \int\limits_{1}^x 1 ~ \dd t = 0.5+(x-1) = x-0.5 \end{eqnarray}$ .
20.07.2011, 22:39	Hansiwansi	Auf diesen Beitrag antworten »
ok danke!wäre das beim ersten intervall $\begin{eqnarray} 0<x\leq 1 \end{eqnarray}$ dann nicht 0,5x²? $\begin{eqnarray} F(x) = F(0) + \int\limits_{0}^x f(t) ~ \dd t = 0 + \int\limits_{0}^x 0.5 ~ \dd t = 0.5x \end{eqnarray}$ hier leitet man doch 0,5dt auf was 0,5x wäre und dann rechnet man [0,5x(x)]-[0,5(0)] oder irre ich mich?
20.07.2011, 22:46	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Anscheinend bist du übermüdet, denn diese Entgegnung ist sowas von daneben. Nochmal ausführlich diese Integralberechnung: $\begin{eqnarray} \int\limits_0^x 0.5 ~ \dd t = \Big[ 0.5t \Big]_{t=0}^x = 0.5\cdot x - 0.5\cdot 0 = 0.5x \end{eqnarray}$
20.07.2011, 22:53	Hansiwansi	Auf diesen Beitrag antworten »
danke für die ausführliche erklärung!!(und nein, ich bin nicht übermüdet,es war nur ein simple frage)
20.07.2011, 22:58	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Mag sein, aber für mich ist der Übergang von einer konstanten Funktion zu einer quadratischen Funktion durch nur eine Integration reichlich absurd, da sträuben sich sämtliche Nackenhaare.
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