Frage zu komplexen Zahlen - Darstellung

21.07.2011, 10:58

Christian_P

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Frage zu komplexen Zahlen - Darstellung

eine Komplexe Zahl

$\begin{eqnarray*} z=a+bi \end{eqnarray*}$

kann umgeformt werden zu

$\begin{eqnarray*} z=a+bi=r\left(\cos{\phi}+i\sin{\phi}\right)=r \cdot e \end{eqnarray*}$

Was bedeutes das $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ in diesem Zusammenhang?

als ein Beispiel wurde in meinem Buch angegeben

$\begin{eqnarray*} 5-12i=13 \cdot \left( \cos{292^\circ 37^\prime}+i\sin{292^\circ 37^\prime}\right) = 13 \cdot e^{5,10712i} \end{eqnarray*}$

Was bedeutet das $\begin{eqnarray*} 13 \cdot e^{5,10712i} \end{eqnarray*}$ bzw. das $\begin{eqnarray*} r \cdot e \end{eqnarray*}$ ganz allgemein? $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ ist ja normalerweise die Eulersche Zahl. Wenn ich diese Schreibweise so nehme, wie sie dort steht, dann ist $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ eine Basis und im Beispiel ist der Exponent $\begin{eqnarray*} 5,10712i \end{eqnarray*}$ , im allgemeinen Fall wiederum wäre der Exponent dann $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

Aber ich verstehe nicht, was diese Schreibweise zu bedeuten hat.
Könnte mir das jemand erklären?

lg
Christian

21.07.2011, 11:04

tigerbine

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RE: Frage zu komplexen Zahlen - Darstellung
Das sind Polarkoordinaten und du darfst nicht einfach nur e [konkrete Zahl] schreiben, sondern du brauchst die e-Funktion [komplex].
http://de.wikipedia.org/wiki/Polarkoordi...reiskoordinaten

Wird es so schon klarer?

21.07.2011, 11:21

Christian_P

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nicht so ganz klar,

$\begin{eqnarray*} z=a+bi \end{eqnarray*}$

der Abstand vom Koordinatenursprung der Gaußschen Zahlenebene zu $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} a=r\cos{\phi} \end{eqnarray*}$

und zu $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=r\sin{\phi} \end{eqnarray*}$

die Länge der Strecke $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} r=\left|\sqrt{a^2+b^2}\right| \end{eqnarray*}$

und der Winkel $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \tan{\phi}=\frac{b}{a} \end{eqnarray*}$

soweit ist alles klar

nur wieso und weshalb kommt jetzt die $\begin{eqnarray*} e^{x} \end{eqnarray*}$ Funktion ins Spiel? Was ist denn eine komplexe e-Funktion?

ich habe noch gefunden

$\begin{eqnarray*} r \cdot e^{i\phi} \end{eqnarray*}$

also die Länge der Strecke $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ multipliziert mit $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x=i \cdot \phi \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ im Bogenmaß

21.07.2011, 11:31

tigerbine

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Man kann Analysis ja nicht nur auf den reellen Zahlen betreiben. Und hier interessieren wir uns ja für komplexe Zahlen. Identifizieren wir die Komplexen Zahlen mal mit der IR² Zahlenebene. Dann geben wir jeder Komplexen Zahl Koordinaten [x-Achse ist die reelle Komponente, y-Achse die imaginäre]. Wie finde ich nun die Zahl, die sich hinter

$\begin{eqnarray*} z=3+4i \end{eqnarray*}$

verbirgt? Klare Anweisung: 3 nach rechts auf der x-Achse, dann 4 nach oben auf der y-Achse [mach mal ein Bild!].

Nun wollen wir die Anweisung anders verpacken. Zirkel rausholen! Zeichne einen Kreis um den Ursprung mit Radius 5. Dann trage einen Winkel von ca. 59° von der x-Achse mit Drehung gegen den Uhrzeigersinn ein. Wo schneiden sich Kreis und Winkelschenkel?

Wir sind also am gleichen Punkt angelangt. Wie können wir diese Radius-Drehwinkel-Variante nun aufschreiben? Du solltest in deiner Skizze nun ein rechtwinkliges Dreieck sehen. Damit sollte dieser Bezug klar sein.

$\begin{eqnarray*} z=a+bi=r\left(\cos{\phi}+i\sin{\phi}\right) \end{eqnarray*}$

Wir kennzeichnen in diesen Beschreibungen mit dem i eben, welche Koordinate sich auf die komplexe Achse bezieht. [Salopp gesagt!]

Bis hierhin alles klar?

21.07.2011, 11:38

Christian_P

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ja, so weit ist alles klar Freude

Freude

21.07.2011, 11:40

tigerbine

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} z=a+bi=r\left(\cos{\phi}+i\sin{\phi}\right) \end{eqnarray*}$

Ok, das konnten wir uns alles anschaulich erklären. Um nun die e-Funktion hineinzubringen, musst du ein Analysisbuch dazu nehmen. Es gelten folgende Beziehungen:

http://de.wikipedia.org/wiki/Exponential...omplexen_Zahlen

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21.07.2011, 14:00

Christian_P

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Die Erklärung auf der Wikipediaseite ist mir ein bisschen zu abstrakt, ich kann dort nicht ganz folgen.
Ich habe etwas über die Eulersche Relation gefunden die besagt dass

$\begin{eqnarray*} e^{i\phi} = \cos{\phi}+i\sin{\phi} \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung zeigt den Zusammenhang schon einmal.
Also besteht ein Zusammenhang
Verwandtschaft zwischen Exponential- und Winkelfunktionen

Kann man das anschaulich darstellen?

21.07.2011, 15:07

tigerbine

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Zitat:

Die Erklärung auf der Wikipediaseite ist mir ein bisschen zu abstrakt, ich kann dort nicht ganz folgen.

Naja, irgendwann kommt schon der Punkt, wo man die Analysis einbringen muss und sich auch fragen muss, was ist eigentlich die E-Funktion, was sind die Winkelfunktionen.

Entweder du nimmst die Identität hin, oder du musst dich mal mit einem Kapitel in einem Anabuch auseinander setzen. Wink

Wink

21.07.2011, 15:28

Christian_P

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Ja, du hast natürlich recht. Schnell, schnell geht schon mal gar nichts, ist mir auch klar.

Im Heuser 1 müsste etwas dazu stehen.

Eigentlich ist meine Frage schon beantwortet, denn ich weis jetzt, was die e-Funktion zumindest im Ansatz damit zu tun hat. Der eigentliche Grund, warum ich mich hier freiwillig mit den komplexen Zahlen herumschlage, ist, weil ich gerade versuche, in die Algebra von der Theorie her einzusteigen.

Algebraische Strukturen und Galois Theorie möchte ich mir ein wenig angucken, bleibt die Frage, ob ich dazu den Zusammenhang e-Funktion und komplexe Zahlen genau verstehen muss.

21.07.2011, 15:33

tigerbine

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Für diese Fragen musst du dich eigentlich nicht durch die Analysis wühlen, wenn du die Identität akzeptierst. Wichtiger wäre, dass du mit Einheitswurzeln rechnen kannst und die schön fix in den Einheitskreis malen kannst. Auch eine Wiederholung von Lösungsformeln für polynomiale Gleichung kann nicht schaden.

Galois ist i.A. nicht so einfach, aber für die ersten Schritte sollte das dann imho ausreichen. Hier stehen ein paar Aufgaben, vielleicht ist da auch was für dich dabei.

Aufgabensammlung Algebra

21.07.2011, 15:51

Christian_P

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danke

Was mir große Schwierigkeiten macht, ist der verwendete Zeichensatz in z.B. deinen Aufgaben und in Algebra Büchern allgemein. Gibt es eine gut ausführliche Übersicht, damit man den Darstellungen besser folgen kann? Die allgemeinen (Schulmathematik) Symbole der Mathematik und auch der Logik sind mir klar, aber viele Symbole sind neu. Wie macht das eigentlich ein Mathematik Student? Der Sprung von der Oberschule zum Studium ist manchmal ganz schön krass.

21.07.2011, 15:52

tigerbine

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Welcher Zeichensatz denn? verwirrt

verwirrt

21.07.2011, 15:56

Christian_P

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Naja, gut vielleicht ist es eher die Anordnung der Symbole, das wirkt dann sehr abstrakt und auf den ersten Blick unverständlich. Vor allem, wenn man sich noch gar nicht richtig auskennt.

21.07.2011, 15:58

tigerbine

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Zitier halt mal, sonst weiß ich nicht wovon du sprichst.

21.07.2011, 16:04

Christian_P

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hier zum Beispiel

Warum gibt es keinen Körper mit
$\begin{eqnarray*} (K,+) \cong (K\setminus\{0\},\cdot) \end{eqnarray*}$

21.07.2011, 16:06

tigerbine

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K als Gruppe betrachtet, Veknüpfung + oder *, und ob diese Gruppen isomorph [Strukturgleich] $\begin{eqnarray*} \cong \end{eqnarray*}$ sind

21.07.2011, 16:20

Christian_P

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achso
und die Differenzmenge ohne die Null beim multiplikativ verknüpften Körper, weil nicht mit Null multipliziert werden soll/darf.

21.07.2011, 16:30

tigerbine

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Weil man die Null aus der multiplikativen Gruppe raus nimmt. Denn zu ihr finden wir per Definition kein Inverses. [0 und 1 sollen verschieden sein].

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