Volumen eines Körpers berechnen (Fubini)

21.07.2011, 12:39

Scien

Volumen eines Körpers berechnen (Fubini)

Der Körper ist gegeben durch:
$\begin{eqnarray*} x^{2} +4 * y^{2} \leq 1 -1\leq z \leq 3*x+2y+5 \end{eqnarray*}$

Meine Idee:

Ich muss vermutlich erst nach dz integrieren, weil da x,y mit drin steckt. Daraufhin habe ich eine Gleichung bei der ich noch nach x und y integrieren muss.
Meine Idee: Nachdem das erste integral fertig sit steht dort:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \int_c^d \! 3x+2y+5 \, dx \, dy \end{eqnarray*}$

Ab hier wende ich vermutlich polarkoordinaten an. Alleridngs weiß ich nicht, wie ich dies machen muss, da es sich ja um eine ellipse handelt.
Vorschläge? smile

21.07.2011, 17:01

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Volumen eines Körpers berechnen (Fubini)

Zitat:

Original von Scien
Der Körper ist gegeben durch:
$\begin{eqnarray*} x^{2} +4 * y^{2} \leq 1 -1\leq z \leq 3*x+2y+5 \end{eqnarray*}$

Meine Idee:

Ich muss vermutlich erst nach dz integrieren, weil da x,y mit drin steckt. Daraufhin habe ich eine Gleichung bei der ich noch nach x und y integrieren muss.
Meine Idee: Nachdem das erste integral fertig sit steht dort:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \int_c^d \! 3x+2y+5 \, dx \, dy \end{eqnarray*}$

Ab hier wende ich vermutlich polarkoordinaten an. Alleridngs weiß ich nicht, wie ich dies machen muss, da es sich ja um eine ellipse handelt.
Vorschläge? smile

da dürfte das, was in klammern stehen sollte, schon nicht stimmen unglücklich

21.07.2011, 17:16

Scien

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Volumen eines Körpers berechnen (Fubini)
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \int_c^d \! (3x+2y+6) \, dx \, dy \end{eqnarray*}$
Meinst du es so?

21.07.2011, 18:49

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Volumen eines Körpers berechnen (Fubini)
ich denke schon Augenzwinkern

21.07.2011, 18:53

Scien

Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr gut

Das löst aber mein Problem nicht... Wie rechne ich das Integral weiter aus? Gibt es so etwas wie elliptische Koordiaten? Oder kann ich irgendwie Polarkoordinaten anwenden? (Hier ist mein Problem dass ich nicht genau den radius festlegen kann... außer in abhängigkeit vom Winkel.

21.07.2011, 19:50

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

natürlich kannst du polarkoordinaten verwenden.
auf der anderen seite ist es auch keine hexerei, das integral von $\begin{eqnarray*} \sqrt{1-t^2} \end{eqnarray*}$ zu berechnen.
zuerst solltest du einmal die entsprechenden integrationsgrenzen bestimmen, denke ( verwirrt

) ich

21.07.2011, 20:00

Scien

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das wäre möglich. Du meinst ich sollte die grenzen von
-\sqrt{1-y^2 } bis \sqrt{1-y^2} und im zweiten Integral von -1 bis +1 setzen? (stimmt hier -1 bis 1? oder besser 0 bis 1, da bin ich mir unsicher..)

Finde ich aufwendig auszurechenen, wie geht es denn nun mit den polarkodinaten? Wie finde ich da meine grenzen?

22.07.2011, 18:06

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Scien
Ja das wäre möglich. Du meinst ich sollte die grenzen von
-\sqrt{1-y^2 } bis \sqrt{1-y^2} und im zweiten Integral von -1 bis +1 setzen? (stimmt hier -1 bis 1? oder besser 0 bis 1, da bin ich mir unsicher..)

Finde ich aufwendig auszurechenen, wie geht es denn nun mit den polarkodinaten? Wie finde ich da meine grenzen?

eine möglichkeit weiter zu kommen, wäre, alles einmal ordentlich auf zu malen, was DU meinst und berechnet hast unglücklich

welche grenzen von welchen variablen
wie schaut das/die integral/e aus .....

was ist aufwendig....

25.07.2011, 08:32

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

da ich mich so peplagt habe mit meinem hübschen bilderl Augenzwinkern

und nebenbei auch mit der berechnung, bei der ich unter verwendung kartesischer koordinaten und einer der eulerschen substitutionen bzw. durch "knobeln" erhalte:
$\begin{eqnarray*} V=3\pi \end{eqnarray*}$

(vielleicht stimmt´s ja sogar)

25.07.2011, 10:33

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von riwe
... durch "knobeln" erhalte:
$\begin{eqnarray*} V=3\pi \end{eqnarray*}$

(vielleicht stimmt´s ja sogar)

Ha, Ha!

riwe, der alte Schlawiner, hat natürlich gesehen, dass man einen oben schräg abgeschnittenen Zylinder mit elliptischer Grundfläche und einer mittleren Höhe von 6 vorliegen hat, für den sich nach der altbewährten Formel $\begin{eqnarray*} V=Gh \end{eqnarray*}$ auch ohne Integralrechnung $\begin{eqnarray*} V=3\pi \end{eqnarray*}$ ergibt. Integriert hat er dann nur noch aus Langeweile.

Wenn man Polarkoordinaten verwendet, sollte man die Substitution $\begin{eqnarray*} \hat y =2y \end{eqnarray*}$ vorschalten, die aus der Ellipse einen Kreis macht und einen Faktor 1/2 vor das Integral bringt. Danach ist die Integration in Polarkoordinaten trivial.

25.07.2011, 15:05

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Huggy

Zitat:

Original von riwe
... durch "knobeln" erhalte:
$\begin{eqnarray*} V=3\pi \end{eqnarray*}$

(vielleicht stimmt´s ja sogar)

Ha, Ha!

das war sozusagen eine "private koproduktion" von opi und mir Augenzwinkern

die transformation $\begin{eqnarray*} y^\prime = 2y \end{eqnarray*}$ Gott