Schwerpunkt der von beiden Funktionen eingeschlossene Fläche

21.07.2011, 13:28

caroschatz

Schwerpunkt der von beiden Funktionen eingeschlossene Fläche

gegeben ist die Funktion y= x² und die Umkehrfunktion y= Wurzelx

Mein Ansatz:
Um auf die Koordinaten des Schwerpunktes zu kommen,muss ich erst einmal den Flächeninhalt bestimmen. Mir fehlt aber bei der Integration die obere Grenze. Also setze ich die beiden Funktionen gleich um des Schnittpunkt und somit die obere Grenze zu bekommen.
A
Also x²= Wurzelx
x= 3/2Wurzel 1 ist das soweit richtig ?

wie gehts weiter brauche dringend hilfe

21.07.2011, 13:58

Math1986

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RE: Schwerpunkt der von beiden Funktionen eingeschlossene Fläche
Ich habe es dir hier mal gezeichnet:

Bitte nutze den Formeleditor, ich kann nicht erkennen was gemeint ist.
Wo liegt denn der Schnittpunkt genau?
Berechne mal das Endergebnis

21.07.2011, 14:24

caroschatz

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Re
Ah ich sehe, der Schnittpunkt liegt also bei 0/0 und 1/1. Ich kann x² = Wurzelx nicht auflösen- *schäm*

21.07.2011, 14:28

caroschatz

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Muss ich jetzt die Fläche berechnen ?
Also das Integral von 0bis1 ( 1/3x³- ? ) was ist das integral von Wurzel x?

21.07.2011, 14:37

Math1986

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Zitat:

Original von caroschatz
Muss ich jetzt die Fläche berechnen ?
Also das Integral von 0bis1 ( 1/3x³- ? )

Ja, genau

Zitat:

Original von caroschatz
was ist das integral von Wurzel x?

Integriere es als
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x}=x^\frac 12 \end{eqnarray*}$

Und nutz den Formeleditor!

21.07.2011, 14:38

Healther

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Schreib dir $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ mal als $\begin{eqnarray*} x^\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

edit: zu langsam

21.07.2011, 15:08

caroschatz

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ok dann berechne ich erst einmal den Flächeninhalt:
$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! x²-\sqrt{x} \, dx \end{eqnarray*}$

dann kommt bei mir eine Fläche von $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

Jetzt möchte ich den Schnittpunkt bestimmen und nutze dafür folgende Formel

xs= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{A} \int_a^b \! x*f(x)-g(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Frage: Was ist das "X" vor dem f(x)

Bei mir kommen dann 3 raus- kann aber nicht sein ! geschockt

Es muss 0,45 rauskommen

21.07.2011, 15:17

Math1986

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Zitat:

Original von caroschatz
ok dann berechne ich erst einmal den Flächeninhalt:
$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! x²-\sqrt{x} \, dx \end{eqnarray*}$

dann kommt bei mir eine Fläche von $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

Das ist falsch, richtig wäre $\begin{eqnarray*} -\frac 13 \end{eqnarray*}$
Anhand der Skizze sieht man auch, dass der Integrand negativ ist, also muss die Fläche auch negativ sein

Zitat:

Original von caroschatz
Jetzt möchte ich den Schnittpunkt bestimmen und nutze dafür folgende Formel

xs= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{A} \int_a^b \! x*f(x)-g(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Du meinst wohl den Schwerpunkt?
Klammersetzung beachten!
Richtig wäre
xs= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{A} \int_a^b \! x*\left(f(x)-g(x)\right) \, dx \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von caroschatz
Frage: Was ist das "X" vor dem f(x)

Das x (klein) ist die Integrationsvariable

21.07.2011, 16:30

caroschatz

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Eine Fläche kann doch nicht negativ sein- also ist die Fläche wohl der Betrag von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
und Integrationsvariabel ist gut- was wäre es konkret in meinem Fall ?

21.07.2011, 17:08

caroschatz

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Re
also irgendwie bin ich verwirrt:

wenn ich $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} x^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$ integriere bekomme ich folgendes:

= $\begin{eqnarray*} x^{\frac{1}{2} } - \frac{1}{3} *x^{3} \end{eqnarray*}$ --> für x=1 eingesetzt bekomm ich definitiv $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ raus

Wenn ich allerdings $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2} } \end{eqnarray*}$ integriere, wie in meiner Formelsammlung steht, dann bekomme ich
= $\begin{eqnarray*} x^{\frac{1}{2} } - \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2} } \end{eqnarray*}$ --> für x=1 eingesetzt bekomme ich definitiv + $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

unabhängig von dieser Tatsache, wie fahre ich fort- Ich weiß nicht, was ich für die Integralvariabel einsetzen muss !!! Bitte helfen...

24.07.2011, 12:53

Math1986

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RE: Re

Zitat:

Original von caroschatz

Wenn ich allerdings $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2} } \end{eqnarray*}$ integriere, wie in meiner Formelsammlung steht, dann bekomme ich
= $\begin{eqnarray*} x^{\frac{1}{2} } - \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2} } \end{eqnarray*}$ --> für x=1 eingesetzt bekomme ich definitiv + $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

unabhängig von dieser Tatsache, wie fahre ich fort- Ich weiß nicht, was ich für die Integralvariabel einsetzen muss !!! Bitte helfen...

Der erste Summand ist falsch, sprich die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$

Die Integrationsvariable ist doch einfach nur die Variable, nach der du integrierst

24.07.2011, 18:08

Dopap

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Die Frage nach dem "x" vor (f(x)-g(x)) wurde noch nicht beantwortet.

Das Integral $\begin{eqnarray*} M_A=\int _0^1 x(f(x)-g(x)) \dd x \end{eqnarray*}$

bezeichnet das Flächen(dreh)moment der Fläche. Da steckt

Drehmoment=Kraft mal Hebelarm dahinter, wobei das "x" für den Hebelarm steht.

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