Vektor als Linearkombination darstellen

21.07.2011, 16:05

Kekskrümel

Vektor als Linearkombination darstellen

Meine Frage:
Also die Aufgabe lautet:
Stellen sie den Vektor $\begin{eqnarray*} w = (2,1,1) \end{eqnarray*}$ als Linearkombination von $\begin{eqnarray*} v_1= (1,5,1) , v_2=(0,9,1) , v_3=(3,-3,1) \end{eqnarray*}$ dar.

Meine Ideen:
Soweit so gut. Ich stell mir das also als Koeffizientmatrix hin
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & | 2 \\ 5 & 9 & -3 & | 1 \\ 1 & 1 & 1 & | 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und nu fang ich an rumzutransformieren wie so'n Blöder.
3. + -1 mal die 1.
2. + -5 mal die 1.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & | 2 \\ 0 & 9 & -18 & | -9 \\ 0 & 1 & -2 & | -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und nun steh ich da, denn sobald ich die zweite oder dritte Zeile der zweiten Spalte 0 zu bekommen wird die Zeile komplett null. Und entweder bin ich zu blöd oder das System lässt sich dann nicht mehr lösen.
Im Übrigen soll die Lösung lauten $\begin{eqnarray*} w = -v_1+v_2+v_3 \end{eqnarray*}$

Falls die Aufgabe jemandem bekannt vorkommen sollte, sie ist aus dem Übungsbuch zu "Lineare Algebra" von Fischer, aber die Lösung wird halt nur als $\begin{eqnarray*} w = -v_1+v_2+v_3 \end{eqnarray*}$ angegeben und ich komme da beim besten Willen nicht hin.

21.07.2011, 16:07

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich gehe mal davon aus dass Du richtig gerechnet hast.

Wenn die letzte Zeile eine Nullzeile ist, dann steht da

$\begin{eqnarray*} 0x_3 = 0 \end{eqnarray*}$

, welche reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ erfüllen diese Gleichung ?

edit : Habs überprüft, soweit alles in Ordnung .

21.07.2011, 16:40

Kekskrümel

Auf diesen Beitrag antworten »

ich mein, mach ich das mal eben weiter

2. + -9 mal 3.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & | 2 \\ 0 & 0 & 0 & | 0 \\ 0 & 1 & -2 & | -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt noch weil's schöner aussieht 2. und 3. vertauschen

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & | 2 \\ 0 & 1 & -2 & |-1 \\ 0 & 0 & 0 & | 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So und
$\begin{eqnarray*} 0x_3=0 \end{eqnarray*}$ wird gilt doch $\begin{eqnarray*} \forall x_3 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
also insbesondere auch für $\begin{eqnarray*} x_3=0 \end{eqnarray*}$

Wenn ich das jetzt wiederum einsetze komm ich doch aber auf
$\begin{eqnarray*} x_1=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2=-1 \end{eqnarray*}$

woraus sich ergibt $\begin{eqnarray*} w = 2*v_1-1*v_2+0*v_3 \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis stimmt schon, weil

$\begin{eqnarray*} (2,1,1)=2*(1,5,1)-1*(0,9,1)+0*(3,-3,1) \end{eqnarray*}$

aber ist ja nunmal wirklich nicht das angegegebne Ergebnis.

$\begin{eqnarray*} w= -v_1+v_2+v_3 \end{eqnarray*}$

Außerdem kann ich mir nicht vorstellen, dass es hierbei erlaubt ist einen der Vektoren einfach so unter den Tisch fallen zu lassen.
Aber wie gesagt, ich vermute mal ich hab irgendwo einen ziemlichen Denkfehler drin.

edit:
war irgendwie unordnung reingekommen. Jetzt ist's logischer und auch ordentlicher.

21.07.2011, 16:44

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

aber ist ja nunmal wirklich nicht das angegegebne Ergebnis.

Manchmal gibt es mehr als nur eine Lösung. Und wenn Du eine Nullzeile bekommst, dann gibts es sogar unendlich viele Lösungen (sofern die anderen Gleichungen erfüllt sind)

Kurzum : Für deine Aufgabe gibt es unendlich viele Lösungen. Du sollst ja nur eine davon angeben. Es gibt hier nicht "die richtige" Lösung.

Die Allgemeine Lösung ist :

$\begin{eqnarray*} x_3 = \lambda \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2 = -1 + 2 \lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 = 2 - 3\lambda \end{eqnarray*}$

Dann ist für alle $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2,1,1) = (2 - 3 \lambda)v_1 + (-1 +2 \lambda)v_2 + \lambda v_3 \end{eqnarray*}$

Insbesondere erhalten wir für Lambda = 1 die Lösung, die du unbedingt haben willst.

edit : Wegen deines Denkfehler, dein Denkfehler besteht einfach darin, dass Du annimmst dieses Gleichungssystem hätte eine eindeutige Lösung. Deine korrekten Rechnungen zeigen doch dass es unendlich viele gibt Augenzwinkern

22.07.2011, 14:40

Kekskrümel

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das war's wohl.
Wäre vielleicht ganz nett gewesen wenn die das in der Lösung dazu geschrieben hätten. Hätte mir einiges grübeln erspart.

Danke vielmals smile

Neue Frage »

Antworten »

Vektor als Linearkombination darstellen

Verwandte Themen