[0,1] ist zusammenhängend

21.07.2011, 17:40	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
[0,1] ist zusammenhängend Meine Frage: Hallo, wie kann man zeigen, daß das Intervall [0,1] zusammenhängend ist? Meine Ideen: Der Ansatz ist klar: Sei $\begin{eqnarray} [0,1]=A\cup B, A\cap B=\emptyset \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A,B \end{eqnarray}$ offen. Zu zeigen ist nun, daß $\begin{eqnarray} A=\emptyset \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} B=\emptyset \end{eqnarray}$ . Annahme: $\begin{eqnarray} A\neq\emptyset \end{eqnarray}$ Wie macht man weiter?
21.07.2011, 18:05	ChristianII	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, als Vorschlag: Man gehe so vor: Angenommen, A und B sind nicht leer. Dann gibt es zwei Punkte a aus A und b aus B, wobei a und b ungleich sind. Wir gehen von a > b aus. Nun definiere ein abgeschlossenes Intervall mit Angangspunkt a und Endpunkt b. Dieses Intervall dient als Ausgangsintervall für eine Intervallschachtelungsverfahren, das das jeweils betrachtete Intervall immer halbiert, so dass zwei "neue" abgeschlossene Intervalle entstehen. Von diesen zwei "neu" enstandenen Intervallen betrachte man dann immer dasjenige, das als Anfangspunkt ein Element aus der Menge A und als Endpunkt eines aus der Menge B hat (Dies ist immer möglich, begründe dies entsprechend.). Auf dieses Intervall wende man nun wieder das Intervallschachtelungsverfahren an usw. Nun leite einen Widerspruch ab. Gruß Christian
21.07.2011, 18:21	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, das werde ich damit später auch noch versuchen! Vorerst habe ich hier einen Beweis gefunden [gleich ganz oben]: http://de.wikibooks.org/wiki/Mathematik:...e:_Zusammenhang Ich verstehe dabei so Einiges nicht! Man nimmt dort zuallererst an, daß $\begin{eqnarray} A\neq\emptyset \end{eqnarray}$ . Wieso kann man dann sagen: "Dann gibt es eine kleinste obere Schranke $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ "? Dann verstehe ich auch nicht diesen Part: "Angenommen, es ist $\begin{eqnarray} x\neq 1 \end{eqnarray}$ . Da A offen ist, gibt es ein Intervall [...]. [...] Es muß also x=1 sein." Wieso?? Und dann habe ich noch eine Frage: Am Ende kommt ja heraus, dass dann $\begin{eqnarray} [0,1]=A\cup \emptyset \end{eqnarray}$ Aber A ist doch offen und [0,1] nicht!! Und selbst, wenn [0,1] abgeschlossen UND offen ist, A ist doch aber nur offen...
21.07.2011, 19:12	ChristianII	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, die kleinste obere Schranke ist das Supremum. Dieses gibt es bei einer beschränkten Menge aus reellen Zahlen immer - wie man zu dieser Tatsache kommt, hängt von den Axiomen ab, von denen man ausgeht. Wenn nun "0" die obere Schranke von A wäre, dann würde A nur aus dem Element "0" bestehen, wäre also abgeschlossen, was ein Widerspruch wäre. Zudem wird gezeigt, dass dieses Sup in A enthalten sein muss. Wenn nun das Supremum x der offenen Menge A nicht "1" wäre, gäbe es (wegen der Offenheit von A) eine Umgebung um x, deren Elemente alle in A enthalten sind. Daher kann also dieses x < 1 kein obere Schranke sein, denn es gäbe sonst Elemente in A, die größer sind als x im Widerspruch zur Definition des Supremums. Somit muss also x = 1 sein. Da dies auch für die Menge B gilt, muss also 1 sowohl in A als auch in B enthalten sein, was einen Widerspruch darstellt. Gruß Christian
21.07.2011, 19:33	Nubler	Auf diesen Beitrag antworten »
kann des sein, dass lediglich bewiesen wurde, dass (0;1) zusammenhängend ist und nicht des geforderte [0;1]?
21.07.2011, 19:36	ChristianII	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ne, dadurch ist bewiesen, dass [0, 1] zusammenhängend ist. Gruß Christian
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23.07.2011, 00:32	ChristianII	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, zur Ergänzung: Man sollte sich allerdings klarmachen, dass nach der Definition von "zusammenhängend" (zumindest so, wie wir es gelernt hattten; vielleicht gib es da aber mehrere Definitionsgrundlagen?) die Mengen A und B nur als "relativ offen" zum Intervall [0,1] angenommen werden, d.h., nicht offen in IR sein müssen. Wenn eine Menge M nicht zusammenhängend ist, also in zwei nichtleere, offene, disjunkte Mengen A und B "zerfällt", so sind diese Mengen A und B "relativ offen" zu M, d.h., sie müssen nicht offen bezüglich des Raumes sein, in dem M selbst eingebettet ist. Allerdings kann man folgenden Satz zeigen: Es sei (X,d) ein metrischer Raum und M nicht leer mit: $\begin{eqnarray} M \subset X \end{eqnarray}$ M ist genau dann zusammenhängend, wenn für alle in (X,d) offene Mengen Q1 und Q2 mit: $\begin{eqnarray} M \subset (Q1 \cup Q2), Q1\cap Q2 = \emptyset \end{eqnarray}$ folgt: $\begin{eqnarray} Q1 \cap M = \emptyset \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} Q2 \cap M = \emptyset \end{eqnarray}$ Gruß und schönes Wochenende Christian
23.07.2011, 09:08	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für diese Ergänzung mit dem "relativ offen". Ich hatte mir diese Überlegungen auch schon gemacht, ob man das alles also bezüglich einer Relativ-Topologie betrachten muss. Und jetzt finde ich es bestätigt. Dann hat sich auch meine letzte Frage geklärt. Man muss sich eben erst daran gewöhnen, sich Offenheit in solchen Fällen vorzustellen. Finde ich gar nicht so einfach.

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