Eigenwertberechnung Matrix

21.07.2011, 20:50

Buggy

Eigenwertberechnung Matrix

Hallo zusammen,

bei einer Aufgabe sollen wir die Eigenwerte folgender 3x3-Matrix berechnen.

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 5 & -3 & 3 \\ -1 & 0 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich berechne dann also die Determinante von $\begin{eqnarray*} A - \lambda I \end{eqnarray*}$ und erhalte als Ergebnis $\begin{eqnarray*} - \lambda^3 - 3 \lambda^2 -3 \lambda-1 \end{eqnarray*}$

Da ich mir dachte, dass es jetzt eigentlich in einer Klausur zu aufwendig wäre, hier die Nullstellen zu berechnen, habe ich mal in der Musterlösung geschaut.

Dort schließt man aus obigen Term $\begin{eqnarray*} ( \lambda + 1)^2 \end{eqnarray*}$

Somit wäre die Nullstelle -1.

Aber wie können diese zwei Terme bitte gleich sein?

21.07.2011, 20:56

lgrizu

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RE: Eigenwertberechnung Matrix
Man kann wohl erwarten, dass ein Student in der Lage ist, während einer Klausur Nullstellen eines Polynoms vom Grad 3 zu berechnen.

Existiert eine ganzzahlige Nullstelle, so ist diese bereits Teiler des Absolutgliedes, bei einem Absolutglied mit dem Betrag 1 ist es doch kein Problem die beiden ganzzahligen Teiler 1 und -1 durch einsetzen zu überprüfen.

Dazu springt hier die Nullstelle -1 förmlich ins Auge.

Auch die Binomische Formel kann man sehen:

$\begin{eqnarray*} (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \end{eqnarray*}$

Die beiden Terme sind auch nicht gleich, es ist $\begin{eqnarray*} -x^3-3x^2-3x-1=-(x^3+3x^2+3x+1)=-(x+1)^3 \neq -(x+1)^2 \end{eqnarray*}$

21.07.2011, 21:08

Buggy

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Danke für die Antwort.

Ich habe ja nicht gesagt, dass ich nicht in der Lage bin, die Nullstellen zu berechnen, aber die Gleichheit kam mir etwas komisch vor.

Ich vermute mal, dass sie zeigen wollten, dass die Terme nur dann gleich sind, wenn $\begin{eqnarray*} \lambda = -1 \end{eqnarray*}$ .

Es ist ja jetzt Zufall, dass die Konstante am Ende -1 ist. Dann muss man ja nur auf 1 und -1 überprüfen.

Würde dort jetzt eine andere Zahl stehen, so wäre es etwas zeitaufwendiger die Nullstellen zu berechnen.

21.07.2011, 21:13

lgrizu

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Wenn in diesem Beispiel nur das Absolutglied ein anderes ist, so kann man die Nullstellen dennoch recht schnell bekommen, wenn man das Binom sieht. nehmen wir einmal an das Absolutglied wäre 9, dann hätten wir die Nullstellen zu bestimmen:

$\begin{eqnarray*} -x^3-3x^2-3x-9=0 \Rightarrow x^3+3x^2+3x+1+8=0 \Rightarrow (x+1)^3+8=0 \end{eqnarray*}$

Hier kann man auch eine Nullstelle sofort bestimmen und im Zweifel dann Polynomdivision.

Wenn das Absolutglied eine Primzahl oder 1 ist, so ist es recht einfach, die Teiler durchzugehen, mit viel mehr wirst du in der Klausur nicht rechnen müssen, Cardano wird nicht verlangt werden.

Oder eine binomische Formel ist offensuíchtlich.

21.07.2011, 21:19

Buggy

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Jop, hast Recht, Pascal' sches Dreieck sollte man immer im Kopf haben und ich kann mir auch nicht vorstellen, dass in der Klausur, falls es überhaupt kommt, etwas viel komplexeres kommt, da es ja noch genug andere Aufgaben gibt ^^.

Auf jeden Fall werde ich mir die Tipps merken.

Danke nochmal.

21.07.2011, 21:28

lgrizu

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Zitat:

Original von Buggy
Danke für die Antwort.

Ich habe ja nicht gesagt, dass ich nicht in der Lage bin, die Nullstellen zu berechnen, aber die Gleichheit kam mir etwas komisch vor.

die beiden Terme $\begin{eqnarray*} (x+1)^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -(x+1)^3=-x^3-3x^2-3x-1 \end{eqnarray*}$ sind nicht gleich, sie haben lediglich die gleichen Nullstellen, und selbst das in unterschiedlicher Vilefachheit.

Insofern kommt dir die Gleichheit zu recht etwas komisch vor.

Ich kann mir auch nicht vorstellen, dass in deine Musterlösung etwas von Gleichheit steht.

21.07.2011, 21:35

Buggy

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Ich habe mal ein Foto davon in den Anhang geladen.

Ich denke mal, sie wollten damit sagen, dass die Gleichung genau dann erfüllt ist, wenn $\begin{eqnarray*} \lambda = -1 \end{eqnarray*}$ ist.

Wobei ich das ziemlich unnötig finde, da man ja einfach sagen könnte, dass nur 1 und -1 in Frage kommt, und 1 nunmal keine Nullstelle ist.

21.07.2011, 21:41

lgrizu

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Die letzte Zeile der Gleichung ist völlig falsch, man sollte schon Wert auf Genauigkeit legen.

Zum einen stimmen die Vorzeichen nicht, zum anderen die Potenz, wenn man gutmütig ist glaubt man da an einen Flüchtigkeitsfehler oder einen Tipfehler.

21.07.2011, 21:47

Buggy

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Ja, schon seltsam, dass dort ein Minus veregssen wurde und die 3 mit der 2 vertauscht.

Naja, jetzt weiß ich wenigstens, dass es begründet war, dass ich etwas überrascht über die Musterlösung war smile

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