Abstand Hyperboloid - Ursprung

22.07.2011, 00:01

gottfried

Abstand Hyperboloid - Ursprung

Die Fragestellung lautet:
"An welchen Punkten des Hyperboloids x² + 3y² - z² = 9 ist der Abstand von
Koordinatenursprung minimal? Wie groß ist der Abstand?"
Zunächst einmal ist die Prämisse ja:
Minimiere den Abstand
Abstandsfunktion zum Ursprung ist
$\begin{eqnarray*} d=\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2+(z-0)^2} = \sqrt{x^2+y^2+z^2} \end{eqnarray*}$
Der Einfachheit halber betrachte ich d², die Wurzel fällt also weg:
$\begin{eqnarray*} d²= x^2+y^2+z^2 \end{eqnarray*}$
Nebenbedingung ist eben der Hyperboloid.

Ich würde das entweder über Lagrange oder - in diesem Fall - einfach mit Einsetzen und dann "regulär" lösen.
$\begin{eqnarray*} x² = 9 + z² - 3y² \end{eqnarray*}$
Das eingesetzt in die Abstandsfunktion führt zu:
$\begin{eqnarray*} d² = 9 + 2z² -2y² \end{eqnarray*}$
Gradient: (4z, -4y)=0 für y=z=0. Für x ergibt sich damit $\begin{eqnarray*} x² = 9 + 0 + 0 \\ x = \pm 3 \end{eqnarray*}$
So, mein kritischer Punkt lautet also (+-3 , 0 , 0)
Hessematrix:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & -4 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Hauptminoren- und Eigenwertkrtierium sagen beide: indefinit, also weder Minimum noch Maximum.

Die eigentliche Frage für mich:
Was kann ich denn nun überhaupt für eine Aussage über den Abstand machen? Was soll dieser kritische Punkt denn nun sonst sein? Es muss doch einen kleinsten Abstand zwischen dem Hyperboloid und dem Ursprung geben?

22.07.2011, 09:09

mYthos

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Rechne besser mit Lagrange. Dabei ergeben sich noch weiterere kritische Punkte der Fläche, die näher am Ursprung liegen ... [ (0; $\begin{eqnarray*} \pm \sqrt 3 \end{eqnarray*}$ ; 0) ].

mY+

22.07.2011, 13:13

gottfried

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Ist dieses Verfahren denn prinzipiell ungeeignet?

Über Lagrange erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} (0, \pm \sqrt{3} , 0)<br /> (\pm 3, 0, 0) \end{eqnarray*}$
Man sieht ja auf den ersten Blick, dass die ersteren beiden Punkte näher am Ursprung sind; reicht hier als Begründung dann schlichtweg das Einsetzen aller Punkte in die Distanzfunktion?

Danke Dir bereits für die Antwort!

22.07.2011, 15:13

mYthos

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Bei der von dir verwendeten Methode musst du diesen Ansatz mehrmals machen, also auch für den Fall

$\begin{eqnarray*} y^2 = 3 - \frac{x^2} 3 + \frac{z^2} 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d^2 = \frac{2x^2} 3 + \frac{4z^2} 3 + 3 \end{eqnarray*}$

usw.

Dieser liefert dann den zweiten Punkt und eine positiv definite Hesse-Matrix.
Die dritte Möglichkeit (z explizit zu verwenden) führt auf imaginäre Lösungen.

Der Lagrange-Ansatz eignet sich deshalb wahrscheinlich hier besser, denn wir erhalten damit beide (reelle) Lösungen (und auch den Fall der dritten imaginären Lösung).
Die Eigenwerte der damit gebildeten Hesse-Matrix sind alle drei gleich $\begin{eqnarray*} \lambda_{1,2,3} = 2 \end{eqnarray*}$ ((oder auch die Minoren= 4), wenn ich das jetzt richtig überblickt habe) und so sollte die Matrix positiv definit sein und daher ein Minimum vorliegen.

mY+

22.07.2011, 15:50

Huggy

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Zitat:

Original von mYthos
Der Lagrange-Ansatz eignet sich deshalb wahrscheinlich hier besser, denn wir erhalten damit beide (reelle) Lösungen (und auch den Fall der dritten imaginären Lösung).
Die Eigenwerte der damit gebildeten Hesse-Matrix sind alle drei gleich $\begin{eqnarray*} \lambda_{1,2,3} = 2 \end{eqnarray*}$ ((oder auch die Minoren= 4), wenn ich das jetzt richtig überblickt habe) und so sollte die Matrix positiv definit sein und daher ein Minimum vorliegen.
mY+

Die Methode der Lagrange-Multiplikatoren liefert nur notwendige Bedingungen für lokale Extrema. Man braucht dann immer zusätzliche Argumente dafür, dass die Zielfunktion tatsächlich lokale Extrema hat.
Da hilft auch die Hesse-Matrix der Lagrangefunktion nicht weiter. Denn es ist ja nicht die Hesse-Matrix der Zielfunktion. Und ein lokales Extremum der Lagrangefunktion muss nicht zwingend auch ein lokales Extremum der Zielfunktion sein.

22.07.2011, 21:03

mYthos

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@Huggy

Da hast du mich missverstanden!
Ich hatte tatsächlich zu keiner Zeit die Matrix der Lagrange-Funktion, sondern jene der zu minimierenden Funktion (Quadrat des Abstandes) im Visier. Wo hatte ich eigentlich etwas Gegenteiliges geschrieben?
Mir ist der von dir angesprochene Unterschied wohl bewusst!

Man muss doch bei den Extremwertberechnungen immer die Matrix der part. 2. Ableitungen der Hauptbedingung (Zielfunktion) aufstellen*, NICHT jene der Lagrangefunktion.

(*) In diesem Falle ist sie

$\begin{eqnarray*} H(f) = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \ .... \quad f = x^2 + y^2 + z^2 \end{eqnarray*}$

wenn ich mich nicht täusche ... oder?

mY+

22.07.2011, 21:36

Huggy

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Zitat:

Original von mYthos
@Huggy

Da hast du mich missverstanden!
Ich hatte tatsächlich zu keiner Zeit die Matrix der Lagrange-Funktion, sondern jene der zu minimierenden Funktion (Quadrat des Abstandes) im Visier. Wo hatte ich eigentlich etwas Gegenteiliges geschrieben?

Ja, dann habe ich dich falsch verstanden. Aber auch so passt es nicht.

Zitat:

Man muss doch bei den Extremwertberechnungen immer die Matrix der part. 2. Ableitungen der Hauptbedingung (Zielfunktion) aufstellen*, NICHT jene der Lagrangefunktion.

Da sind wir uns jetzt einig. Aber wenn man Nebenbedingungen hat, nützt die Hesse-Matrix der Zielfunktion ohne Berücksichtigung der Nebenbedingungen gar nichts

Zitat:

(*) In diesem Falle ist sie

$\begin{eqnarray*} H(f) = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \ .... \quad f = x^2 + y^2 + z^2 \end{eqnarray*}$

Die Zielfunktion f hat das lokale Minimum (0, 0, 0) und die Hesse-Matrix bestätigt, dass das ein lokales Minimum ist.

Über Extrema der Zielfunktion unter Berücksichtigung der Nebenbedingung sagt das nichts aus. Diese Hesse-Matrix ist ja völlig unabhängig von den beliebig vielen Nebenbedingungen, die man sich ausdenken kann.

Entweder setzt man die Nebenbedingungen in die Zielfunktion ein und bildet dann die Hesse-Matrix oder man benützt die Methode der Lagrange-Multiplikatoren und muss damit leben, dass man nur eine notwendige Bedingung für lokale Extrema bekommt, aber keine hinreichende. So ist das Leben. Ich kann nichts dafür.

22.07.2011, 21:38

mYthos

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Danke für die Erklärungen, jetzt ist alles klar!

mY+

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