Anfänger-DGL-Fragen und Potenzreihen

22.07.2011, 02:00

akamanston

Anfänger-DGL-Fragen und Potenzreihen

hallo.

ich muss eine präsentation über dgl anfertigen und hab so meine probleme mit einigen begriffen.
ich schreib einfach alle fragen in einen thread, dann erspare ich euch meine nervigen threads^^

also erstes problem:
1.
nachdem ich y=y' gelöst habe, steht bei mir folgende -vorläufige- lösung da:
y=e^(x+c) , so mein freund sagt jetzt es gibt irgendein rechengesetz, das es erlaubt folgendes zu schreiben: y= c*e^x ; ich versteht nicht war das soll.
erledigt
2.
ich würde gerne ein paar dgl beispiele nennen.
da hab ich vorerst
2.1luftdruck, abhängig von: geographische breite, ort,höhe über oberfläche, zeit
2.2faden/federpendel, abhängig von: hier weiß ich nix passendes außer zeit, körpermasse(frage: sind das hier dann alles variablen von denen die dgl abhängt? wäre dann faden/federpendel eine partielle dgl???)
2.3wachstumsgesetz, abhängig von: naja population, und sonst?
kann mir jemand noch andere/sinnvollere/bessesre beispiele nennneN?

3.
ok nun zur potenzreihe.(schwerste und wichtigste)
erstmal wie kann ich reihen und folgen einfach erklären, umd danach zur potenzreihe überzuleiten?

so nun habe ich mir mal die potenzreihe der e-funktion angeschaut. dann habe ich überlegt, wie kommt das zustande?

ich habe mir die e-funktion aufgemalt und eine tangende bei ( 0 | 1 ).
dann habe ich gesagt: e^x >= x+1
beide seiten integriert.(ich darf ja einfach beide seiten gaudihalber mit integral "multiplizieren" ??)
dann kommt raus e^x +-(+ oder -????) C >= +-(+ oder -???)C + x + 0,5x^2
und genau dieses spielchen wenn ich so weitermache, bekomme ich genau die potenzreihe aus wiki heraus.

muss ich, so wie ich es rechne, auch irgendeinen fall ausschließen? d.h. gibt es definitionsmenge?zahlen die ich nicht verwenden darf? das ist nämlcih für eine präsentation, und ich möchte schon das es korrrekt da steht. nicht das der lehrer fragt "und was ist wenn ich .... einsetzte" und ich dann merke "oh damit gehts wohl nicht"- es soll mathematisch einfach korrekt dastehen
gehe ich bei potenzreihen immer so heran?wie lege ich sonst meine "hilfsgerade", wenn die funktion(dgl) nicht so einfach ist??
woher weiß ich, dass das plus/minus beim sinus abwechselnd ist?

dadurch das es so spät ist, hab ich wohl noch ein paar sachen vergessen, mit den ich meine helfer morgen auch noch ärgern werde, seid mir nicht böse...
aberbitte helft mir, und versucht mir alle fragen zu beantworten, das ist so wichtig.

edit: noch was, kann ich das verfahren, seperation der variable immer verwenden? die gleichung muss doch dann in einer bestimmten form gegeben sein, sonst gehts ja nicht?

22.07.2011, 07:42

Jeremy124

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RE: Anfänger-DGL-Fragen und Potenzreihen
zu 1.

$\begin{eqnarray*} y = e^{x+c} = e^x e^c = \tilde{c} e^x \end{eqnarray*}$ .

Ist wie, wenn du von $\begin{eqnarray*} 3 \epsilon \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \epsilon/2 \end{eqnarray*}$
auf $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ schließen kannst.

22.07.2011, 14:38

akamanston

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RE: Anfänger-DGL-Fragen und Potenzreihen
ja danke dir, ich hab die potenzregeln der e-funktion einfach vergessen=) aber jetzt ist das natürlich glasklar.
jedoch ist mir der 3te punkt am wichtigsten. kannst du mir dabei helfen? andere helfer können es auch gerne probieren^^

22.07.2011, 15:04

lgrizu

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RE: Anfänger-DGL-Fragen und Potenzreihen
Also zu 2.) kannst du mal hier schauen: Beispiele für Differentialgleichungen aus der Natur.

Potenzreihenentwicklung ist schon ein Thema für sich, du kannst dir dazu einmal die Taylorreihe anschauen.

Wie man Reihen so einführt, dass sie für Schüler verständlich sind weiß ich nicht, da ich nicht in Erinnerung habe, wie die bei uns in der Schule damals eingeführt worden sind, ich glaube aber, dass sie uns einfach "vorgesetzt" worden sind.

Welche Definition von e legst du denn zugrunde?

22.07.2011, 15:32

akamanston

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RE: Anfänger-DGL-Fragen und Potenzreihen

Zitat:

Original von lgrizu
Wie man Reihen so einführt, dass sie für Schüler verständlich sind weiß ich nicht, da ich nicht in Erinnerung habe, wie die bei uns in der Schule damals eingeführt worden sind, ich glaube aber, dass sie uns einfach "vorgesetzt" worden sind.

schade=(

Zitat:

Original von lgrizu
Welche Definition von e legst du denn zugrunde?

okay hoffe ich check was du meinst.

erstmal, habe ich mich mit potenzreihen beschäftigt und bin auch die "bekannte" reihe der e-funktion gestoßen die wie folgt lautet.
[attach]20637[/attach](aus wiki)

aber nun habe ich mich gefragt wie man darauf kommt. und dann bin ich auf die idee mit den zwei graphen gekommen. das mit der e-funktion und x+1.
ich gehe von y=y' aus mit startbedingung y(0)=1
ist das die antwort auf deine frage? im prinzip steht das schon dak, hm

22.07.2011, 15:38

lgrizu

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RE: Anfänger-DGL-Fragen und Potenzreihen
Dann definieren wir erst einmal die Zahl e:

$\begin{eqnarray*} e=\sum_{k=0}^{ \infty} \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$

Fernerhin können wir $\begin{eqnarray*} \exp(x)=\sum_{k=0}^{ \infty} \frac{x^k}{k!} \end{eqnarray*}$ definieren, wir müssen ja irgendeine Definition zugrundelegen.

Die Exponentialfunktion (die Reihendarstellung) entspricht dann auch ihrer Taylorreihe um den Entwicklungspunkt x=0.

22.07.2011, 15:44

akamanston

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RE: Anfänger-DGL-Fragen und Potenzreihen

Zitat:

Original von lgrizu
Dann definieren wir erst einmal die Zahl e:

$\begin{eqnarray*} e=\sum_{k=0}^{ \infty} \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$

Fernerhin können wir $\begin{eqnarray*} \exp(x)=\sum_{k=0}^{ \infty} \frac{x^k}{k!} \end{eqnarray*}$ definieren, wir müssen ja irgendeine Definition zugrundelegen.

Die Exponentialfunktion (die Reihendarstellung) entspricht dann auch ihrer Taylorreihe um den Entwicklungspunkt x=0.

was ist denn der unterschied zwischen den zwei definitionen? ich dachte die definition(en) die du geschrieben hast sind einfach nur die kurzformen der von mir -aus wiki- geschriebenen langversion?!
wenn das so ist, dann muss ich deine definitionen auch rechnerisch begrunden oder nicht? das mit dem sigma hasse ich eh=)

22.07.2011, 16:31

lgrizu

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RE: Anfänger-DGL-Fragen und Potenzreihen
Aber wir müssen die Zahl e doch erst einmal definieren, daraus kann man dann bestimmte Eigenschaften ableiten. Eine Definition muss man nicht rechnereisch begründen, wieso auch, wir definieren es ja so.

Wie wurde denn die Zahl e bei euch in der Schule definiert?

Du kannst dir auch einmal die Taylorreihe der e-Funktion um den Entwicklungspunkt x=0 anschauen, diese entspricht der Reihendarstellung der e-Funktion.

22.07.2011, 16:34

akamanston

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RE: Anfänger-DGL-Fragen und Potenzreihen

Zitat:

Original von lgrizu
Aber wir müssen die Zahl e doch erst einmal definieren, daraus kann man dann bestimmte Eigenschaften ableiten. Eine Definition muss man nicht rechnereisch begründen, wieso auch, wir definieren es ja so.

Wie wurde denn die Zahl e bei euch in der Schule definiert?

Du kannst dir auch einmal die Taylorreihe der e-Funktion um den Entwicklungspunkt x=0 anschauen, diese entspricht der Reihendarstellung der e-Funktion.

ok ich schau grad, mein lehrer meinte ich soll erstmal erklären was reihen(folgen) sind. aber ich weiß nicht wo da der zusammenhang ist. worauf ich hinauswill ist das lösen von dgl durch potenzreihen.
eine taylorreihe ist eine spezialform der potreihe oder?

edit: wie spircht man diese definition von e aus?

22.07.2011, 16:39

akamanston

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RE: Anfänger-DGL-Fragen und Potenzreihen
arghh - fail!

22.07.2011, 22:36

Jeremy124

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RE: Anfänger-DGL-Fragen und Potenzreihen
Sei $\begin{eqnarray*} \{a_n\}_{n \in N} = a_1, a_2, a_3, ... \end{eqnarray*}$ eine Folge.

Man kann dann diese Folge nutzen um die Partialsummen

$\begin{eqnarray*} S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k \end{eqnarray*}$

definieren.

Das liefert uns wieder eine Folge, und zwar $\begin{eqnarray*} \{S_n\}_{n \in N} \end{eqnarray*}$ .
Für Folgen ist der Grenzwert-Begriff klar.
D.h., wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} a_k \end{eqnarray*}$
existiert, so nenen wir

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} a_k := \lim_{n \to \infty} S_n \end{eqnarray*}$

die Reihe.

22.07.2011, 22:48

akamanston

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RE: Anfänger-DGL-Fragen und Potenzreihen

Zitat:

Original von Jeremy124
Sei $\begin{eqnarray*} \{a_n\}_{n \in N} = a_1, a_2, a_3, ... \end{eqnarray*}$ eine Folge.

Man kann dann diese Folge nutzen um die Partialsummen

$\begin{eqnarray*} S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k \end{eqnarray*}$

definieren.

Das liefert uns wieder eine Folge, und zwar $\begin{eqnarray*} \{S_n\}_{n \in N} \end{eqnarray*}$ .
Für Folgen ist der Grenzwert-Begriff klar.
D.h., wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} a_k \end{eqnarray*}$
existiert, so nenen wir

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} a_k := \lim_{n \to \infty} S_n \end{eqnarray*}$

die Reihe.

wieso macht man das, wofür braucht man das? dient das nur der verkürzten schreibweise? kann man das auch noch viel allgemeiner definieren? ich glaube so genau brauche ich es gar nicht. hat die folge einen grenzwert so heißt sie reihe. richtig so? das mit dem doppelpunkt irritiert mich ein wenig-hmmm
gibt es nun auch eine verbindung zu potenzreihen bzw reihenentwicklung?

22.07.2011, 22:53

ThomasFF

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RE: Anfänger-DGL-Fragen und Potenzreihen
Naja, wenn du es so genau nicht willst, dann unsauber formuliert:

Eine Reihe ist eine unendliche Summe.
Man kann einige Funktionen als unendliches Polynom darstellen.
Das kann man ja dann gut ableiten.

MfG

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