Beweis Mittelwerteigenschaft

22.07.2011, 08:32

Gast11022013

Beweis Mittelwerteigenschaft

Meine Frage:
Die Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen hatten wir als:

$\begin{eqnarray*} U\subseteq \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ offen, $\begin{eqnarray*} u:U\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ harmonisch

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Für alle Kugeln $\begin{eqnarray*} K_r(x)\subseteq U (r>0) \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} u(x)=\frac{1}{vol_n(K_r(x))}\int_{K_r(x)}u(y)dy=\frac{1}{vol_{n-1}(\partial K_r(x))}\int_{\partial K_r(x)}u(y)dS(y) \end{eqnarray*}$

Wir hatten dazu folgenden Beweis:

Zeige zuerst:

$\begin{eqnarray*} u(x)=\frac{1}{vol_{n-1}(\partial K_r(x))}\int_{\partial K_r(x)}u(y)dS(y) \end{eqnarray*}$

1. Setze $\begin{eqnarray*} M(r)=\frac{1}{vol_{n-1}(\partial K_r(x))}\int_{\partial K_r(x)}u(y)dS(y)=\frac{1}{vol_{n-1}(S^{n-1})}\int_{S^{n-1}}u(x+rw)dS(w) \end{eqnarray*}$

Was ist hier denn passiert? Führt man hier das Integral über den Rand von $\begin{eqnarray*} K_r(x) \end{eqnarray*}$ mittels einer Homothetie/ "Verschiebung und Streckung" auf das Integral über den Rand der Einheitssphäre zurück? ( $\begin{eqnarray*} S^{n-1} \end{eqnarray*}$ soll nämlich die (n-1)-dimensionale Einheitssphäre sein.)

2. Bilde $\begin{eqnarray*} M'(r) \end{eqnarray*}$ und nutze Satz von Gauß, dann ist $\begin{eqnarray*} M'(r)=0 \end{eqnarray*}$ .

Also ist M(r) konstant.

Wegen $\begin{eqnarray*} \lim_{r\to 0}M(r)=u(x) \end{eqnarray*}$ folgt

die Behauptung.

[Den Beweis für den anderen Teil habe ich verstanden (per Zwiebelformel). Und lasse den deswegen weg.]

Meine Ideen:
Würde sich jemand die Mühe machen und meine Frage bei 1. beantworten und mir evtl. ein bisschen erläutern, was bei 2. passiert? Da sehe ich nämlich nicht, wie da am Ende 0 herauskommt...

Danke!

Ich weiß, das ist leider ein bisschen unübersichtlich!

24.07.2011, 09:52

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Bei 1. ist das eigentlich recht logisch, $\begin{eqnarray*} K_r(x) \end{eqnarray*}$ ist eine Kugel mit Radius r, deren Rand eine Sphäre $\begin{eqnarray*} S^{n-1} \end{eqnarray*}$ mit Radius r ist. Beim Vorfaktor muss man einfach die Substitutionsregel betrachten - die Translation ist egal, det=1, bei der Streckung muss man etwas aufpassen: Die normale Substitutionsregel würde dir sagen, du kriegst nen Faktor $\begin{eqnarray*} r^n \end{eqnarray*}$ , aber die gilt für offene Mengen im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ . Hier integrierst du über Untermannigfaltigkeiten der Dimension n-1, du bekommst auch nur einen Vorfaktor $\begin{eqnarray*} r^{n-1} \end{eqnarray*}$ . Damit kommt auch der Vorfaktor hin.

Wenn du dir überlegen willst, wieso $\begin{eqnarray*} r^{n-1} \end{eqnarray*}$ , fass es als Abbildung von Untermannigfaltigkeiten auf, ohne die globale Fortsetzung.

Bei 2. kommt ein Integral über $\begin{eqnarray*} \Delta u \end{eqnarray*}$ raus, wenn du Gauss anwendest, das verschwindet, weil die Funktion harmonisch ist, also $\begin{eqnarray*} \Delta u = 0 \end{eqnarray*}$ . Für den Limes brauchst du nur die Stetigkeit von u (unter Umständen würde $\begin{eqnarray*} u\in L^1 \end{eqnarray*}$ reichen, aber dann wirds aufwändiger)

24.07.2011, 13:08

Gast11022013

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In aller Tiefe begreife ich Deine Bemerkungen zugegebenermaßen nicht.

Dennoch sehr vielen Dank!

24.07.2011, 16:16

Gast11022013

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Hab's mir nochmal angesehen, was Du bemerkst und eine Frage dazu:

Meintest Du wirklich "Substitutionsregel"?

Oder "Transformationsformel"?

Ich vermute, Du meinst "Transformationssatz" bzw. "-formel", da Du u.a. bei der Translation von Determinante und von offenen Mengen im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ sprichst, alles Dinge, die bei der Transformationsformel eine Rolle spielen.

Wenn dem so ist, dann verstehe ich Deine Bemerkungen auch.
[Wir hatten das dann im Zusammenhang mit Untermannigfaltigkeiten unter dem Stichwort: "Verhalten bei Ähnlichkeitsabbildungen".]

Edit:

Vielleicht verwenden wir unterschiedliche Bezeichnungen für identische Dinge.

"Transformationformel", wie ich es kenne:

Seien $\begin{eqnarray*} U,V\subset\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ offene Mengen und $\begin{eqnarray*} \varphi: U\to V \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} C^1 \end{eqnarray*}$ - invertierbare Abbildung (d.h. Diffeomorphismus). Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f:V\to \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist genau dann integrierbar, wenn die Funktion $\begin{eqnarray*} (f\circ\varphi)\vert det D\varphi(x)\vert \end{eqnarray*}$ über U integrierbar ist und es gilt dann

$\begin{eqnarray*} \int_{U}f(\varphi(x))\vert det D\varphi(x)\vert d^nx=\int_{V}f(y)d^ny \end{eqnarray*}$ .

"Substitutionsregel" kenne ich hingegen nur als eine andere Bezeichnung für die Integration per Substitution.

24.07.2011, 17:54

Jensen23

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IMO ist doch Substitution nur ein Sonderfall von der Transformationsregel für Funktionen $\begin{eqnarray*} f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Schau es dir mal genau an.

24.07.2011, 19:12

Gast11022013

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Du hast Recht!

Zitat:

Wikipedia
Der Transformationssatz (auch Transformationsformel) beschreibt in der Analysis das Verhalten von Integralen unter Koordinatentransformationen. Es ist somit die Verallgemeinerung der Integration durch Substitution auf Funktionen höherer Dimensionen.

Dumm von mir! Hammer

Dann nehme ich meine "Unterstellungen" natürlich zurück!
[Dann kann man natürlich mit gutem Grund auch "Substitutionsregel" sagen, wobei ich es logischer finde, wenn man hier Transformationsregel sagt, denn man ist ja hier nicht in dem Sonderfall.]

Vielen Dank für den Hinweis.

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