Teilmengen

22.07.2011, 09:28

Melanie123

Teilmengen

Meine Frage:
Hey,

Ich habe große Probleme damit, zu bestimmen, wann eine Teilmenge des R² offen, abgeschlossen, beschränkt oder kompakt ist. Kann mir das eventuell einer an einem kleinen Beispiel zeigen?

Meine Ideen:
Also ich weiß, dass es um innere und Randpunkte geht. Auch wurde schon von der E-Umgebung gesprochen, jedoch will ich das nicht so richtig verstehen...

22.07.2011, 12:21

Mazze

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Eine Teilmenge A einer Obermenge M heißt offen , wenn sie in der entspechend Definierten Topologie auf M enthalten ist. Bezüglich der Standardtopologie auf R² (also mit Metrik) gibt es einige Möglichkeiten um zu Entscheiden ob eine Teilmenge offen/abgeschlossen ist.

Randpunkte, Innere Punkte

Folgenkriterium

Beschränktheit : Das ist absolute Grundlage und wird eigentlich direkt zum beginn der Analysis definiert. Schau Doch mal die Definition nach.

Kompakt : Im endlichdimensionalen gilt : Eine Menge ist kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.

Beispiele :

$\begin{eqnarray*} (0,1) \times (0,1) \subset \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ offen (bezüglich Standardtopologie)

$\begin{eqnarray*} [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ abgeschlossen (und kompakt da auch beschränkt)

$\begin{eqnarray*} [0,1] \times (0,1) \end{eqnarray*}$ weder offen noch abgeschlossen

r > 0 :

$\begin{eqnarray*} \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \leq r^2\} \end{eqnarray*}$ abgeschlossen (und kompakt)

$\begin{eqnarray*} \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 < r^2\} \end{eqnarray*}$ offen

$\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ offen und abgeschlossen (überleg mal warum)

22.07.2011, 12:46

Melanie123

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Wie wäre es denn mit:

$\begin{eqnarray*} \left\{(x,y)\in \mathbb R ² : |x| + |2*y| \leq 4\right\} \end{eqnarray*}$

Ich würde jetzt sagen, dass die Teilmenge nicht offen ist, da der Randpunkt 4 enthalten ist. Demnach ist sie aber abgeschlossen. Beschränk ist sie, weil sie keinen Wert größer 4 annehmen kann. Daher auch kompakt.

Kann man das so einfach begründen?

22.07.2011, 12:57

Mazze

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Ich setze mal

$\begin{eqnarray*} M = \left\{(x,y)\in \mathbb R ² : |x| + |2*y| \leq 4\right\} \end{eqnarray*}$

Zitat:

da der Randpunkt 4 enthalten ist. Demnach ist sie aber abgeschlossen.

Du musst schon exakter Arbeiten. Es gibt keinen Randpunkt 4, Du betrachtest Doch eine Teilmenge des R². Was Du meinst ist, dass der Punkt (4,0) zur Menge gehört. Dieser Punkt ist ein Randpunkt. Daraus kannst Du aber nicht schließen dass die Menge abgeschlossen ist, denn jeder Randpunkt muss dafür zur Menge gehören.

Der Schluss dass die Menge nicht offen ist, ist dann aber korrekt. Denn für jede Umgebung U um den Punkt (4,0) gilt $\begin{eqnarray*} U \not \subset M \end{eqnarray*}$

Zitat:

Beschränk ist sie, weil sie keinen Wert größer 4 annehmen kann.

Auch hier musst Du aufpassen. Wenn $\begin{eqnarray*} (x,y) \in M \end{eqnarray*}$ ist, was soll dann (x,y) < 4 bedeuten ?

Korrekte Formulierung : Für die Beschränktheit benötigt man einen Abstands oder Normbegriff. Da wir im Endlichdimensionalen sind ist es völlig egal welche Norm wir wählen. Ich nehme jetzt einfach mal die 1-Norm :

Es sei also $\begin{eqnarray*} (x,y) \in M \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} |x| + |2y| \leq 4 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \|(x,y)\|_1 = |x| + |y| \leq 4 \end{eqnarray*}$ , und damit ist die Menge M beschränkt. (Weil es eine Zahl r > 0 gibt, so dass die 1-Norm aller Elemente von M kleiner r ist)

Zur Abgeschlossenheit : Nimm an dass (x,y) ein Randpunkt von M ist, und zeige dass $\begin{eqnarray*} (x,y) \in M \end{eqnarray*}$ gilt. Dann hast Du die Abgeschlossenheit gezeigt.

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