Positive Definitheit einer NICHT symmetrischen Matrix

22.07.2011, 13:27	shrek2011	Auf diesen Beitrag antworten »
Positive Definitheit einer NICHT symmetrischen Matrix Edit (mY+): Titel korrigiert. Meine Frage: Ich habe eine Frage zur Positiven Definität einer Matrix. Ich habe eine NICHT symmetrische Matrix und soll eine Aussage darüber treffen, ob diese positiv definit ist. In allen Büchern bzw. im Internet finde ich jedoch nur Aussagen der Art "Eine SYMMETRISCHE quadratische Matrix ist positiv definit, wenn..." , "meine" Matrix ist eben aber nicht symmetrisch. Meine Ideen: Dies ist die Matrix: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -2 & 0 & -2 & -2 \\ -10 & 3 & -3 & -4 \\ 4 & 0 & 4 & 2 \\ 2 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich dachte, vielleicht gelten ja bei nicht symmetrischen Matrizen die gleichen Kriterien wie bei symmetrischen Matrizen, das heißt, dass die Matrix positiv definit ist, wenn ihre Eigenwerte positiv sind. Das ist bei dieser Matrix der Fall, aber ich bin mir eben nicht sicher, ob man das auch so machen kann.
22.07.2011, 13:36	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Positive Definität einer NICHT symmetrischen Matrix Eine Matrix ist genau dann positiv definit, wenn die symmetrische Matrix $\begin{eqnarray} A+A^T \end{eqnarray}$ positiv definit ist. Edit: Achso, es heißt "Definitheit", nicht Definität.
22.07.2011, 13:53	shrek2011	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke vielmals! Ach ja, es heißt Definitheit ^^ Vielleicht hat jemand noch eine Antwort auf eine andere Frage... Ich habe die Matrix von oben und muss ihre Transponierte mt ihr multiplizieren, das habe ich natürlch hinbekommen ^^ jetzt muss ich eine Aussage über die positove Definitheit (!) dieser Matrix treffen. Das wäre an sich kein Problem, weil diese Matrix "A-transponiert mal A" symmetrisch ist, aber gibt es da nicht noch einen einfacheren Weg das zu sehen? Kann man von irgendwelchen Eigenschaften von A sehen, ob A-transponiert mal A poitiv definit ist?
22.07.2011, 14:04	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} A^TA \end{eqnarray}$ hat wegen $\begin{eqnarray} \langle A^TAv,v \rangle = \langle Av,Av \rangle \geq 0 \end{eqnarray}$ nur nicht-negative Eigenwerte, ist also positiv semi-definit. Jetzt musst du dir nur noch überlegen, was A zusätzlich erfüllen müsste, damit auch die 0 als Eigenwert nicht in Frage kommt.
22.07.2011, 14:57	shrek2011	Auf diesen Beitrag antworten »
Also... so ganz bin ich jetzt noch nicht fertig mit Denken, aber vielleicht stimmt ja mein Ansatz: Wie du schon meintest, stimmt $\begin{eqnarray} \langle A^TAv,v \rangle = \langle Av,Av \rangle \end{eqnarray}$ das heißt, man könnte es auch schreiben als: $\begin{eqnarray} \langle Av,Av \rangle \end{eqnarray}$ = <bv, bv> wobei b ein Eigenwert von A sein soll. Also ist v ein Eigenvektor von A. Wie ich nachgerechnet habe, gilt $\begin{eqnarray} \langle Av,Av \rangle = 0 \end{eqnarray}$ aber nur dann, wenn v=0 ist, und wenn v ein Eigenvektor sein soll, kann v nicht 0 sein. Stimmt das so?
27.06.2022, 10:58	Legobluzz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Positive Definität einer NICHT symmetrischen Matrix Die angegebene Matrix ist nicht positiv definit, z.B. für den Vektor x' =(1,1,1,1) gilt x'Ax = -4.
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