Complexe Mengen skizzieren

22.07.2011, 13:53

Leagil

Complexe Mengen skizzieren

Meine Frage:
Skizzieren Sie die Menge { z element C : |z-1| = |z+1| }

Meine Ideen:
Habe das jetzt als komplexe Zahl geschrieben:

|(x-1),y)| = |(x+1),y|

Das ist gleich:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(x+1)^2 + y^2} = \sqrt{(x-1)^2 + y^2} \end{eqnarray*}$

Binomie auflösen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(x^2 +2x + 1) + y^2} = \sqrt{(x^2-2x+1) + y^2} \end{eqnarray*}$

Und nun habe ich das alles gleich eben bis auf

+2x= -2x

und das trifft doch nur ein für x= 0

Also ist meine Menge dann die gesamte Imaginäre Achse?! War mir nicht sicher ob ich die 1 so in die Komplexe Zahl reinziehen soll oder das irgendwie aufteilen soll..

22.07.2011, 14:01

klarsoweit

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RE: Complexe Mengen skizzieren

Zitat:

Original von Leagil
Also ist meine Menge dann die gesamte Imaginäre Achse?!

Richtig. Bildlich gesprochen:
Wenn man von der imaginären Achse 1 nach links oder rechts geht, kommt man jeweils zu komplexen Zahlen die denselben Abstand zum Nullpunkt haben. Augenzwinkern

22.07.2011, 14:06

Leagil

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Also würdest du sagen die Aufgabe ist komplett richtig so? Also würde ich jetzt weil da skizzieren steht die ganze y-Achse anmalen und fertig?

22.07.2011, 14:10

klarsoweit

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Richtig.

22.07.2011, 14:19

Leagil

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Danke :P

Darf ich hier noch ne Aufgabe posten?

Also ich habe:

i+ Re ( $\begin{eqnarray*} \frac{1}{z} \end{eqnarray*}$ ) = a*z

mit a Element R, a >1.

Habe dann erstmal mit 1 als
$\begin{eqnarray*} \frac{zk}{zk} \end{eqnarray*}$ (der konjugierten Zahl)

die linke Seite multipliziert:

i + Re ( $\begin{eqnarray*} \frac{x-iy}{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ ) = a*Z

Das ist dann:

i + ( $\begin{eqnarray*} \frac{x}{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ ) = a*z

Dann ziehe ich i in den Bruch mitrein und teile durch z:

$\begin{eqnarray*} \frac{i*(x^2+y^2) +x }{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \frac{1}{z} \end{eqnarray*}$ = a

$\begin{eqnarray*} \frac{ix^2 + iy^2 +x}{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x+iy} \end{eqnarray*}$ = a

Und da stehe ich aufm Schlauch weil ich (x+iy) nicht aus der Klammer oben ausklammern kann...

22.07.2011, 14:33

klarsoweit

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Du kannst aber den 2. Bruch auch mit x - i*y erweitern.

22.07.2011, 14:38

Leagil

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Mh.. ich les mir gerade nochmal die Aufgabe durch.. "bestimmen sie alle Lösungen z element C \ {0} der Gleichung

Muss ich die dann nach z umstellen oder nach a? :-/

Zu deiner Idee:

$\begin{eqnarray*} \frac{ix^2+iy^2+2x}{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ = a

hätte ich dann raus.. aber ich glaub ich muss das nach z umstellen oder? :-/

22.07.2011, 14:42

Leagil

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$\begin{eqnarray*} \frac{ix^2+iy^2+2x- iy}{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ = a

meine ich Big Laugh

22.07.2011, 14:58

klarsoweit

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Zitat:

Original von Leagil
hätte ich dann raus.. aber ich glaub ich muss das nach z umstellen oder? :-/

Ja. Da z aber eindeutig durch x und y festgelegt ist, kannst du das auch nach x und y auflösen. Dazu vergleichst du die Real- und Imaginärteile der beiden Seiten der Gleichung.

22.07.2011, 15:07

Leagil

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Muss ich das nach x und y einzeln auflösen?

Habe jetzt hier

$\begin{eqnarray*} \frac{ix^2+iy^2+x }{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ = a*z

nochmal angesetzt... und diesmal a rüber gebracht:

$\begin{eqnarray*} \frac{ix^2+iy^2+x }{ax^2+ay^2} \end{eqnarray*}$ = z

und dann weiter ausgerechnet:

<=> (x,x^+y2) * (ax^-2 + ay^-2) = z

<=> (ax^-1+ay^-1, a + ax^2y^-2+ax^-2y^2+a) = z

<=> (ax^-1+ay^-1,2a + ax^2y^-2+ax^-2y^2) =z

Ist das richtig soweit? Und kann ich ax^2y^-2+ax^-2y^2 addieren?

22.07.2011, 15:48

klarsoweit

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Zitat:

Original von Leagil
nochmal angesetzt... und diesmal a rüber gebracht:

Das ist unnötig.

Zitat:

Original von Leagil
$\begin{eqnarray*} \frac{ix^2+iy^2+x }{ax^2+ay^2} \end{eqnarray*}$ = z

und dann weiter ausgerechnet:

<=> (x,x^+y2) * (ax^-2 + ay^-2) = z

Das ist Unfug. Wie soll deine Umformung funktionieren?

Wie man leicht sieht, ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^2+2^2} \neq 2^{-2} + 2^{-2} \end{eqnarray*}$

Die Phantasie der Leiute im Erfinden mathematischer Regeln ist größer als das Universum. smile

Zitat:

Original von Leagil
Muss ich das nach x und y einzeln auflösen?

Du mußt - wie ich schon sagte - die Real- und Imaginärteile der beiden Seiten der Gleichung vergleichen.

23.07.2011, 13:51

Leagil

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Okaay also neuer Versuch =P

i + ( $\begin{eqnarray*} \frac{x}{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ ) = a*z

Dann schreibe ich das als Komplexe Zahl:

( $\begin{eqnarray*} \frac{x}{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ , 1) = (a*x,a*y)

Und nun weiß ich, das a*y = 1 sein muss.

Naja oder wie meintest du das? Was kann ich nun noch schließen?

25.07.2011, 08:27

klarsoweit

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Zitat:

Original von Leagil
Und nun weiß ich, das a*y = 1 sein muss.

Richtig.

Zitat:

Original von Leagil
Naja oder wie meintest du das? Was kann ich nun noch schließen?

Die Realteile der beiden komplexen Zahlen müssen auch gleich sein.

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