Bedingungen für Wendepunkt/ Sattelpunkt |
| 22.07.2011, 16:45 | neena | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Bedingungen für Wendepunkt/ Sattelpunkt wir haben im Unterricht unterschiedliche Bedingungen für Wendepunkte kennengelernt: 1. Notw. Bed f´´(x0) = 0 Hinreich. Bed f´´(x) = 0 und f´´´(x) ungleich 0 2. Notw Bed f´´(x0) = 0 Hinreich Bed f´´(x0) wechselt das Vorzeichen bei x0 Meine frage: Kann ich bei einem der Verfahren erkennen, ob der Wendepunkt gleichzeitig ein Sattelpunkt ist oder muss ich es immer mit der ersten Ableitung überprüfen? also wenn f´(x)=0 ist es ein Sattelpunkt. Ich denke, ich muss es immer überprüfen, weil f´´(x) das Vz doch sowohl bei einem Wendepunkt als auch bei einem Sattelpunkt wechselt, oder nicht? Ich komme nur darauf, weil wir bei den Bedingungen für Extrema vorzugsweise die bedingung mit dem VZW nutzen sollten, weil da erkannt werden kann, ob ein Sattelpunkt anstatt eines Extremums vorliegt. Warum kann man dann eigentlich nicht die Bedingungen für Extrema auch als Bedingungen für Sattelpunkte angeben. Also f´(x) = o und hier eben keinen VZW bei x0 ? Also statt:notw. Bed. f´´(x)=0 Hinre. Bed. f´´´(x) ungleich o zusätzl. bed. f´(x) = 0 |
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| 22.07.2011, 20:35 | terri | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich hab deinen Text jetzt mehrmals gelesen und so richtig klar geworden, was du nun eigentlich wissen willst, ist es mir immer noch nicht. Prinzipiell bin ich nie ein großer Fan von der Betrachtung des Vorzeichenwechsels gewesen. Wenn du Funktionsscharen betrachtest (also Funktionen die von einem oder mehreren Parametern abhängen), und die Extrema in Abhängigkeit der Parameter betrachten sollst, ist es wesentlich einfacherer, es über die Nullstellen zu tun. (Meiner Meinung nach, vielleicht hat auch jemand gute Argumente dagegen.) |
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| 22.07.2011, 21:06 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Bedingungen für Wendepunkt/ Sattelpunkt gebe meinem Vorredner recht: zuviel auf Einmal für eine Frage. ob eine Betrachtung des VZW der Ableitung vorzuziehen ist oder nicht, hängt vom Aufwand beider Massnahmen ab. Aber jetzt nochmal: Sei die vorgegebene Funktion stetig und differenzierbar im notwendigen Intervall*, d.h. der schulische Normalfall. Wie lautet nun die Frage? ----------------------------------------------------------------------------- * das ist nicht ganz unerheblich, da z.B y=|x| bei x=0 ein relatives ( und absolutes ) Minimum hat, aber y'(0)=0 nicht notwendig ist. d.h. alle Antworten mit NOTWENDIG, HINREICHEND und NOTWENDIG UND HINREICHEND müssen in diesem Kontext betrachtet werden. |
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| 22.07.2011, 21:24 | soro | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Auch ich sehe nicht recht durch, was du willst. Aber bei uns war das so: n.B. f'(x) = 0 und f''(x)=0 Vielleicht hilft dir das ja weiter. |
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| 23.07.2011, 00:12 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
unter den gegebenen Bedingungen (*) ist das in Ordnung. Nur dann nicht in dieser Reihenfolge schreiben. 1.) notwendige Bedingung 2.) hinreichende Bedingung sondern so: notwendig und hinreichend ist: ist der Unterschied klar? |
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| 23.07.2011, 02:33 | neena | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, ich versuche die Frage noch mal anders, ohne Sattelpunkte: Bedingungen ür Wendepunkte: 1. Notw. Bed. f``(x0)= O Hinreich. bed f``(x)=0 und f``(x) wechselt das VZ bei x0 2. Notw. Bed. f``(X0) =0 und f```(x0) = 0 Gibt es Gründe die Bedingungen unter 1. oder die unter 2. vorzuziehen, sind die einen vieleicht aussagekräftiger? Es geht um ganzrationale Funktionen.Funktionsscharen hatten wir noch nicht. (Nur als beispiel, warum ich darauf komme: Bei den Bedingungen für Extrema sind ja z.B die, die den VZW mit einbeziehen ausssagekräftiger, weil man einen Sattelpunkt gleich erkennt, was bei zur Hilfe nahme der Bedingungen ohne VZW mit der 1. und 2. ableitung nicht möglci ist) |
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| 23.07.2011, 02:50 | neena | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich denke, dass ich gerade Gründe gefundenb habe die Bedingungen mit VZW vorzuziehen. Beispiel: f(x)=x^15 Notw. Bed f“(x) =0 Hinreich Bedf“(x)=0 und f```(x) ungleich 0 0= 210x^13 x=0 f```(x)=0 also ist diese Bedingung nicht erfüllt Notw. Bed f`` (x)=0 Hinreich Bed f“(x) =0 und f``(x) wechselt das VZ bei x0 für x<0 ist f``(x) 0 ist f“>0 Bedingungen erfüllt es findet ein VZW statt, zusätzlich ist f`(x) =0 es inst also ein Sattelpunkt. Bei den Bedingungen ohne VZW wäre es nicht eindeutig, da die bedingung f```(x) ungleich Null nicht erfüllt war, richtig??? |
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| 23.07.2011, 03:18 | neena | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jetzt habe ich aber noch ein Problem: zitat:1.1 Sattelpunkt finden Der Sattelpunkt errechnet sich nahezu genauso wie ein normaler Wendepunkt. Daher sollte man auch zuerst nach den Wendepunkten suchen und falls es diese gibt, kann man noch überprüfen, ob die gefundenen Wendepunkte vielleicht auch Sattelpunkte sind. Die Sattelpunkte haben die Eigenschaft, dass am Sattelpunkt für kurze Zeit die Steigung 0 herrscht – ansonsten ist alles genauso wie bei Wendepunkten. Die Bedingungen für einen Sattelpunkt sind also: ?f ‘ (x) = 0 ?f ” (x) = 0 ?f ”’ (x) 0 Die Bedingung f´´´(x)= o ist hier ja nicht erfüllt. Trotzdem ein Sattelpunkt? Dann muss ich doch hier auch die Bedingungen setzen:Für einen Sttelpunkt: f``(x) =0 und f``wechselt das VZ bei x0 und f`(x) =0 |
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| 23.07.2011, 03:54 | Tomatensalat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Bedingungen für einen Sattelpunkt sind nur, dass f'(x) = 0 und f"(x) = 0 sind. Die dritte Ableitung ist für eine Sattelstelle irrelevant. Die ist nur für die Überprüfung wichtig, ob es sich ggf. auch um eine Wendestelle handelt. Daher verstehe ich gerade nicht, wo genau dein Problem ist. |
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| 23.07.2011, 04:05 | neena | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe sowohl im Internet als auch in meinem Buch als Bedingungen für einen Sattelpunkt: f ‘ (x) = 0 f ” (x) =0 f ”’ (x) 0 stehen, daher gehe ich natürlich auch davon aus, das das die Bedingungen sind. Eine Sattelpunkt ist doch aber immer gleichzeitig ein Wendepunkt, nur eben einer mit der Steigung 0, daher verstehe ich jetzt nicht, warum die 3te Ableitung nur wichtig ist um zu sehen, ob es AUCH ein Wendepunkt ist. |
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| 23.07.2011, 04:41 | neena | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Tomatensalat bei der Funktion f(x)= x^4 ist f`(x)=4x^3 und f``(x) 12x^2 0=4x^3 ergibt 0, durch einsetzen in die erste und zweite Ableiung ergibt sich immer 0, trotzdem ist es kein Sattelpunkt, diese Bedingungen können also nicht reichen |
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| 23.07.2011, 04:49 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Tomatensalat hat außer acht gelassen, dass ein Sattelpunkt per Definition auch ein Wendepunkt ist. Das Aufschaukeln mit den Ableitungen ist sehr mühsehlig, man kann das ja mit beliebiger Potenz betreiben. Entscheidend ist, ob sie gerade oder ungerade ist. Und nun sollte man sich fragen, ob die zweite Ableitung an der Stelle x=0 einen Vorzeichenwechsel hat oder nicht. Damit ist geklärt, ob sich die Krümmung ändert [Wendepunkt] oder ob sie gleich bleibt [Minimimalstelle/Extremstelle] |
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| 23.07.2011, 05:06 | neena | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke, das meinte ich ja. Ich gucke zunächst, ob es sich um einen WP handelt,z.b mit f``(x)=0 und vzw bei x0 von f``(x) Wenn das der Fall ist, kann ich noch kontrollieren, ob f´(x) = 0 ist, wenn ja, Sattelpunkt. Wenn ich allerdings, den WP berechne in dem ichf`(x)=0 und f``(x) =0 un`d f```(x) ungleich 0 nehme und f```(x) eben =0 ist, sagt mir das eigentlich überhaupt nicht und ich muss doch den VZW in Betracht ziehen. ...Außer ich habe vorher die Extrema berechnet, und f`(x)=0 und keinen VZW von f`(x) dann ist eh schon klar, das es einen Sattelpunkt gibt...aber das schließt dann weitere Wp nicht aus... stimmts??? |
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| 23.07.2011, 05:13 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was denn nun? f'''(x)=0 oder f'''(x) ungleich 0? Wenn die dritte Ableitung verschwindet, hat sie keine interessanten Informationen bzgl. unserer Frage und eh man weitere Ableitungen bildet, sollte man lieber den VZW der zweiten Ableitung untersuchen. Denn ansonsten muss man solange weiter ableiten, bis eine Ableitung nicht mehr 0 ist und dann kommt es darauf an ob das eine gerade Ableitung [Min/Extrem] oder ungerade Ableitung [Sattelpunkt] ist. f(x)=x³, f'(x)=3x², f''(x)=6x, f'''(x)=6 [Wendepunkt/Sattelpunkt] f(x)=x², f'(x)=2x, f''(x)=2 [Minimum] |
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| 23.07.2011, 05:30 | neena | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich meine wenn ich die Bedingungen für den Wendepunkt aufstelle: f´`(x) =0 und f```(x) ungleich 0 Aber dann rauskommt, dass f```(x) =0 ist, somit die zweite Bedingung nicht erfüllt ist, dann sagt mir das eigentlich nichts. Also sind diese Bedingungen (mit f```(x)=0 ) ratsam, wenn man vorher die Extrema bestimmt und dabei schon einen Sattelpunkt ausgeschlossen hat. Sonst besser mit VZW. Wir sollen nämlich nur wenn es sinnvoll ist die VZW Bedingungen nehmen, wegen Zeitersparnis. |
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| 23.07.2011, 05:36 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
notwendig ist ja mal f''(x)=0. Nun musst du absichern. Entweder hast du f'' schon in schöner Darstellung [Faktoren z.B] und kannst direkt den VZW sehen oder du hegst die Hoffnung, dass die nächste Ableitung nicht wieder 0 ist.
Na, wenn ich erst eine Komplizierte Ableitug ausrechnen muss f'''(x) um dann festzustellen =0 und ich doch auf VZW gucken muss, wo ist da die Zeitersparnis? am besten suchst du mal ein konkretes Beispiel, aber nicht so einfach wie bisher. |
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| 23.07.2011, 05:42 | neena | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wir hatten bisher ehrlich gesagt nur so einfache Beispiele und da hieß es halt immer, wenn wir eh wissen, dass es keinen Sattelpunkt gibt dann mit der 3ten Ableitung. Wir hatten auch nur während 1 Schulstunde kurz was zu den Sattelpunkten. Kommt aber sicher nächstes Jahr wieder, und ich will mich vorbereiten... |
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| 23.07.2011, 05:45 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich denke du hast das wesentliche verstanden und solltest da von Fall zu Fall entscheiden, anstatt nun rein hypothetisch nach eventuellem Aufwand entscheiden zu wollen. |
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| 23.07.2011, 05:54 | neena | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok,jeden falls sind mir gundsätzlich die Bedingungen jetzt klar. Ich kannte halt aus dem buch für einen Sattelpunkt NUR die Bedingungen mit der 3ten Ableitung, da die halt manchmal nicht aufging habe ich mir überlegt, dass ich ja auch die mit dem VZW abändern kann, solange f´(x)=o ist. Vielen Dank! |
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| 23.07.2011, 05:56 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
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| 23.07.2011, 06:20 | neena | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Doch noch eine Frage dazu. Ich hatte dich so verstanden, dass wenn kein VZW vorliegt ein Extremum statt eines Wendepunktes vorliegt. Aber hier noch ein Beispiel f(x)=x^4 -x f``(x) =0 x=0 Keinen VZW bei 0, also keine Wendestelle. Aber auch kein Minimum/ Maximum |
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| 23.07.2011, 06:26 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das bezog sich nur auf Punkte, die die notwendige Bedingung [erste Ableitung =0] erfüllen. Ich dachte das sei klar, dass wir nur noch am Fragepuntk: Extremwert oder Sattelpunkt waren. => also von Interesse => für von 0 verschieden, >0 => Minimum. |
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| 23.07.2011, 06:37 | neena | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok, das hatte ich so auch raus. Dann ist jetzt wirklich alles klar. Danke 
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