Beschränkte Mengen im metrischen Raum

17.12.2006, 20:49

Filewalker

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Beschränkte Mengen im metrischen Raum

Hallo,

wir sollen diese Woche zeigen, dass folgende 3 Aussagen äquivalent sind und alle bedeuten, dass M ( TM X ) beschränkt ist.

(X,d) metrischer Raum.
a) $\begin{eqnarray*} \exists x_0 \in X : sup\{d(x,x_0) : x \in M\} < \infty \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} \forall x_0 \in X : sup\{d(x,x_0) : x \in M\} < \infty \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} diam(M) := sup \{d(x,y) : x,y \in M \} < \infty \end{eqnarray*}$
gelöst hab ich bisher
b=>c
c=>a

fehlt für den ringbeweis ja noch:
a=>b und genau da komme ich nicht weiter.

warum soll aus ein punkt existiert, für den das gilt, folgern, dass es für alle punkte gilt?

grüße
lukas

17.12.2006, 20:53

Mathespezialschüler

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Wenn es für einen Punkt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ gilt und $\begin{eqnarray*} x_0\in X \end{eqnarray*}$ nun beliebig ist, dann musst du zeigen, dass es eine Konstante $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ gibt, sodass für alle $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} d(x,x_0)\leq L \end{eqnarray*}$ .

Wie kannst du denn $\begin{eqnarray*} d(x,x_0) \end{eqnarray*}$ wohl am besten abschätzen?! In einem metrischen Raum hat man ja nicht so viele Ungleichungen, die für jeden bel. metrischen Raum gelten. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß MSS

17.12.2006, 22:32

Filewalker

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ok
a gilt, und dieses in a gefundene $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ nenn ich dann jetzt $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} d(x,x_0) \leq d(x,x_1) + d(x_1,x_0) \end{eqnarray*}$

und man weiß wegen a, dass
$\begin{eqnarray*} d(x,x_1) \leq \infty \end{eqnarray*}$
dann muss man aber ja noch zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} d(x_1,x_0) \leq \infty \end{eqnarray*}$
da $\begin{eqnarray*} x_0 \not\in M \end{eqnarray*}$ sein kann, kann ich darüber ja nix sagen.
oder steh ich hier irgendwie voll aufm schlauch?

17.12.2006, 22:40

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Filewalker
und man weiß wegen a, dass
$\begin{eqnarray*} d(x,x_1) \leq \infty \end{eqnarray*}$
dann muss man aber ja noch zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} d(x_1,x_0) \leq \infty \end{eqnarray*}$

Nein, man weiß

$\begin{eqnarray*} d(x_1,x)<\infty \end{eqnarray*}$ .

Und zu $\begin{eqnarray*} d(x_1,x_0) \end{eqnarray*}$ : Das ist der Abstand zweier fester Elemente des metrischen Raums und dieser ist definitionsgemäß immer endlich.

Gruß MSS

17.12.2006, 22:44

Filewalker

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achso, ok. danke.
das ist gut zu wissen.

wie kann denn dann überhaupt ein abstand nicht endlich sein?

17.12.2006, 22:47

Mathespezialschüler

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Gar nicht. Deswegen ist er ja auch endlich.
Ich verstehe deine Frage irgendwie nicht. verwirrt

verwirrt

Gruß MSS

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17.12.2006, 22:59

Filewalker

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ja klar ist er endlich wenn M beschränkt ist, aber es ist nicht gesagt, dass M beschränkt ist...wir sollen ja nur zeigen, dass die drei aussagen äquivalent sind.

da steht nur als erklärung drunter, dass das eben heißt, das M beschränkt ist.

also wenn a gilt, dürfen wir noch nicht voraussetzen, dass M beschränkt ist, sondern nur das was in a steht.

so hab ich das ganze zumindest verstanden.

wär natürlich locker, wenn man dann sagen kann, M ist beschränkt, wenn A gilt...

17.12.2006, 23:03

Mathespezialschüler

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Also wenn ich dich richtig verstanden habe, ist deine Frage folgende:
Wie kann $\begin{eqnarray*} \operatorname{diam}(M)=\infty \end{eqnarray*}$ sein, wenn die Abstände alle nur endlich sind?
Stimmt das?

Gruß MSS

17.12.2006, 23:11

Filewalker

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ne nicht ganz...sorry ich drück mich immer so ungenau aus.

die aufgabe war ja nur, dass man zeigen soll
a<=>b<=>c

und c ist ja die def. dass M beschränkt ist.

wenn jetzt aber ja jetzt nur a gilt, kann man ja noch nicht sagen, dass M beschränkt ist (dass soll man ja erst zeigen).

und wenn ich jetzt zeigen will, dass a=>b, kann ich ja nicht sagen, dass
$\begin{eqnarray*} d(x_1,x_0) \leq \infty \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} x_0 \in X \end{eqnarray*}$ beliebig und $\begin{eqnarray*} x_1 \in X \end{eqnarray*}$ fest

weil in a ja nur steht, dass
$\begin{eqnarray*} d(x,x_1) \leq \infty \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} x_1 \in X \end{eqnarray*}$ fest und $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ beliebig.

17.12.2006, 23:15

Mathespezialschüler

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$\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ muss aber fest sein! Und nochmal: In a) steht

$\begin{eqnarray*} d(x,x_1)<\infty \end{eqnarray*}$

und nicht das, was du geschrieben hast.

Gruß MSS

17.12.2006, 23:29

Filewalker

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mh ich raff jetzt irgendwie gar nix.

ich fass einach nochmal meinen gedanken zusammen, soweit es geht.

a) $\begin{eqnarray*} \exists x_0 \in X : sup\{d(x,x_0) : x \in M\} \leq \infty \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} \forall x_0 \in X : sup\{d(x,x_0) : x \in M\} \leq \infty \end{eqnarray*}$

also a gilt.
das sagt doch aber nichts aus über
$\begin{eqnarray*} d(y,x_0) : y \in X \end{eqnarray*}$ beliebig und nicht zwingend $\begin{eqnarray*} y \in M \end{eqnarray*}$

wenn ich jetzt versuche a=>b zu zeigen.
ich nehme mir z aus X beliebig, x aus M und x_0 ist das eine x_0 aus a)
dann ist
$\begin{eqnarray*} d(x,z) \leq d(x,x_0) + d(x_0,z) \end{eqnarray*}$
und wegen a $\begin{eqnarray*} d(x,x_0) \leq \infty \end{eqnarray*}$
aber ich woher weiß ich, dass
$\begin{eqnarray*} d(x_0,z) \leq \infty \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} z \in X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z \not\in M \end{eqnarray*}$ ?

17.12.2006, 23:42

Mathespezialschüler

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Wenn du überall $\begin{eqnarray*} <\infty \end{eqnarray*}$ anstelle von $\begin{eqnarray*} \leq\infty \end{eqnarray*}$ schreibst, macht 1. alles wieder Sinn und 2. muss ich dich dann nicht noch 10 Mal darauf aufmerksam machen ...

Zitat:

Original von Filewalker
ich nehme mir z aus X beliebig, x aus M und x_0 ist das eine x_0 aus a)
dann ist
[...]
aber ich woher weiß ich, dass
$\begin{eqnarray*} d(x_0,z) \leq \infty \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} z \in X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z \not\in M \end{eqnarray*}$ ?

Weil $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ zwar beliebig, aber fest gewählt ist.

Gruß MSS

17.12.2006, 23:50

Filewalker

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stimmt sorry, natürlich < unendlich

aber das brint mich ja noch nicht näher an den beweis.

dann hab ich jetzt
$\begin{eqnarray*} d(x,z) \leq d(x,x_0) + d(x_0,z) \end{eqnarray*}$
und wegen a $\begin{eqnarray*} d(x,x_0) < \infty \end{eqnarray*}$

aber ich muss ja dann zeigen
$\begin{eqnarray*} d(x_0,z) < \infty \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} z \in X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z \not\in M \end{eqnarray*}$ ?

und das wüsste ich nicht, warum das gelten sollte?

tut mir leid, wenn mein riesen brett vorm kopf dir den letzten nerv raubt...

17.12.2006, 23:59

Mathespezialschüler

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Weil $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ beide fest sind und ein Abstand immer endlich ist, siehe alle meinen vorherigen Beiträgen.

Gruß MSS

PS: Den letzten Nerv raubt es mir nicht, keine Angst. Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.12.2006, 00:04

Filewalker

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ok der abstand zwischen zwei festen punkten ist also immer endlich.

warum dann die ganzen a b und c verschiednen angaben?

also kannst du mir mal erklären, was passiert, wenn a nicht gilt.
dann muss es ja punkte geben (einer aus X einer aus M) deren abstand unendlich ist.

18.12.2006, 00:34

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Filewalker
dann muss es ja punkte geben (einer aus X einer aus M) deren abstand unendlich ist.

Ob das deine Frage war, habe ich weiter oben schonmal gefragt und du hast dies verneint ...
Natürlich muss es keine zwei Punkte mit unendlichem Abstand geben. Das Intervall $\begin{eqnarray*} [0,\infty) \end{eqnarray*}$ hat ja auch unendlichen Durchmesser, obwohl alle Punkte des Intervalls einen endlichen Abstand von einander haben. Woran liegt das? Natürlich kann jeder Abstand endlich sein, das ändert aber nichts daran, dass bei dem Supremum aller Abstände unendlich rauskommen kann. Die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_n=n \end{eqnarray*}$ besitzt ja auch nur endliche Werte! Trotzdem divergiert sie bestimmt gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ . Du siehst also, dass der Abstand auch immer größer werden kann, und zwar unbeschränkt. Jeder einzelne Abstand ist dabei endlich, aber wenn man alle Abstände zusammen betrachtet, werden die irgendwann evtl. immer größer.

Gruß MSS

18.12.2006, 00:37

Filewalker

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ok danke für die erklärung.
und nochmal sorry das ich das dann eben verneint hab, hatte da den überblick verloren.

kann man sich das auch so vorstellen?

$\begin{eqnarray*} d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y) \end{eqnarray*}$
mit x aus M und y,z aus X

da man nicht weiß ob
$\begin{eqnarray*} d(x,z) < \infty \end{eqnarray*}$
schätzt man wieder durch dreiecksungleichung ab

$\begin{eqnarray*} d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y) \leq d(x,z') + d(z',z) + d(z,y) \end{eqnarray*}$

und das macht man dann immer weiter,
bis dass man abzählbar viele (pos.) summanden hat, die summe ist dann natürlich unendlich und man hat dann
$\begin{eqnarray*} d(x,y) \leq \infty \end{eqnarray*}$
aber eben nicht das gewünschte
$\begin{eqnarray*} d(x,y) < \infty \end{eqnarray*}$

?

18.12.2006, 00:39

Mathespezialschüler

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Wovon gehen wir denn jetzt aus? Gibts irgendwelche Voraussetzungen? Ich verstehe nämlich grad gar nicht, was du da machst.

Gruß MSS

18.12.2006, 00:49

Filewalker

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also das was ich zuletzt gemacht hab:
es gibt keine voraussetzung mehr, also ich wollte mir nur auf eigenem weg erklären, warum so eine voraussetzung notwendig ist.
hatte das angefangen zu scheiben, da hatte ich deinen beitrag noch nicht gelesen.
aber durch deinen beitrag ist es mir jetzt klar geworden.

danke.

18.12.2006, 00:51

Filewalker

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also das bsp mit a_n = n und [0,oo) hat den groschen zum fallen gebracht.

tausend dank nochmal.

ich kann dann jetzt entspannt schlafen gehen.

gute nacht.

18.12.2006, 00:53

Mathespezialschüler

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Kein Problem. Gute Nacht! Schläfer

Schläfer

Gruß MSS

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