Erwartungswert diskreter Zufallsvariable über Verteilungsfunktion

22.07.2011, 17:48	freedt	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert diskreter Zufallsvariable über Verteilungsfunktion Hallo! Folgende Gleichheit soll gezeigt werden: Für eine nichtnegative Zufallsvariable $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ und der dazugehörigen Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray} F_X \end{eqnarray}$ soll gelten: $\begin{eqnarray} \mathbb E (X) = \int^{\infty}_0 (1-F_X(t))dt \end{eqnarray}$ Und das sowohl in dem Fall, dass $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ diskret als auch in dem, dass $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ stetig ist. Erstmal der stetige Fall: $\begin{eqnarray} E (X) = \int^{\infty}_{-\infty} tf_X(t)dt = \int^{\infty}_{0} tf_X(t)dt = [tF_X(x)]^{\infty}_{0} - \int^{\infty}_{0} F_X(t)dt = \lim_{t \rightarrow \infty}t\cdot\lim_{t \rightarrow \infty}F_X(t) - \int^{\infty}_{0} F_X(t)dt = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{t \rightarrow \infty}t\cdot 1 - \int^{\infty}_{0} F_X(t)dt = \int^{\infty}_{0} (1 -F_X(t))dt \end{eqnarray}$ Ist das korrekt?! Ich finde das alles sehr gewagt. Besonders beim Teil, mit der Limes-Umforung, bin ich mir unsicher, ob das überhaupt erlaubt ist. Beim diskreten Fall habe ich nicht mal einen Ansatz. Gibt es Wahrscheinlichkeitsdichten für diskrete Zufallsvariablen? Das wäre doch totaler Quatsch! Eine Verteilungsfunktion kann man sich ja basteln, aber die hilft einem ja für den Erwartungswert nicht weiter. Ich sehe da nur den Anfang über: $\begin{eqnarray} \mathbb E(X) = \sum_{t \in X} t\cdot \mathbb P(X=t) \end{eqnarray}$ Aber wie man das jetzt in die Integralschreibweise kriegen soll.... Ich hoffe jemand kann mir auf die Sprünge helfen und hat auch Lust das zu tun Beste Grüße!
22.07.2011, 23:47	MichaelJackson	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Ich habs zum diskreten Fall mal probiert, bin dann aber nicht mehr weitergekommen, ich dachte ich poste meinen Ansatz jetzt mal, vielleicht kannst du ja was damit anfangen Gruss MichaelJackson ist $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ eine diskrete Zufallsvariable, so ist mit $\begin{eqnarray} k\in \mathbb N \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(X=k)=P( k\leq X<k+1=:b)=\int_k^b \! f(x) \, dx \end{eqnarray}$ wenn $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ eine Dichte zu $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ eine Treppenfunktion von der Form $\begin{eqnarray} f(x)=h \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} k\leq x<b \end{eqnarray}$ nun ist $\begin{eqnarray} \int_k^b \! f(x) \, dx= \int_k^b \! h \, dx = \left[hx\right]_{k}^{b}=h(k+1)-hk=h=f(x) \end{eqnarray}$ und es gilt $\begin{eqnarray} F(x):=\int_0^x \! f(t) \, dx=\sum\limits_{k=1}^x \int_k^b \! f(t) \, dx=\sum\limits_{k=1}^x f(t) \end{eqnarray}$ damit ist jetzt mit $\begin{eqnarray} r:=t+1 <br /> \mathbb E X = \sum\limits_{t\in X}tP(X=t)= \sum\limits_{t\leq x<t+1, t\in X}tf(x) = \sum\limits_{t\leq x<t+1, t\in X}t\int_t^r \! f(x) \, dx<br /> \end{eqnarray}$
23.07.2011, 00:03	Zündholz	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, versuch mal $\begin{eqnarray} \int P(X > t) dt = \int \int 1_{]t,\infty[}(y) dP_X (y) dt = \int \int 1_{[0,y[}(t) dt dP_X (y) = \int \int_0^y dt dP_X(y) = \int y dP_X (y) = E[X] \end{eqnarray}$ Schöne Grüße

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