Gleichung mit 3 unbekannten

22.07.2011, 18:32

algo

Gleichung mit 3 unbekannten

Meine Frage:
hallo, hier meine frage:
BEDINGUNG: es soll a + b = y = a * b gelten, (a,b,y sind reel)
Bsp.: 2+2=4=2*2 oder 0+0=0 = 0*0=0 Beachte: a und b müssen nicht unbedingt gleich sein.
für welche andere a, b gilt die o.g Bedingung noch?
Gibt es eine Formel um so etwas zu bestimmen?

Vielen Dank!!

Meine Ideen:
noch keine ideen

22.07.2011, 20:13

opi

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Die Formel kannst Du selbst aufstellen. Forme
$\begin{eqnarray*} a+b=a \cdot b \end{eqnarray*}$
nach a oder b um.

22.07.2011, 20:32

riwe

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RE: Gleichung mit 3 unbekannten
stelle eine quadratische gleichung auf Augenzwinkern

22.07.2011, 20:47

opi

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RE: Gleichung mit 3 unbekannten

Zitat:

Original von riwe
stelle eine quadratische gleichung auf Augenzwinkern

Wie? Und vor allem: warum?

23.07.2011, 09:28

riwe

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RE: Gleichung mit 3 unbekannten
zu 2) (nur) weil ich symmetrie hübscher finde als (a = b = 1) Augenzwinkern

zu 1) mit $\begin{eqnarray*} a_1 = a_2 + e \end{eqnarray*}$ erhält man für $\begin{eqnarray*} a_1+a_2=a_1\cdot a_2 \end{eqnarray*}$ die lösungspaare

$\begin{eqnarray*} a_{1,2}=1\pm\frac{e}{2}+\sqrt{1+\frac{e^2}{4}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{1,2}=1\pm\frac{e}{2}-\sqrt{1+\frac{e^2}{4}} \end{eqnarray*}$

hoffentlich ohne hund bei den indizes verwirrt

23.07.2011, 12:10

Leopold

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Bei opis Weg kannst du eine der Größen vorgeben und die andere daraus ermitteln. Man darf $\begin{eqnarray*} a,b \neq 1 \end{eqnarray*}$ voraussetzen (für $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} b=1 \end{eqnarray*}$ ist die Gleichung, wie man direkt sieht, nicht erfüllbar).

$\begin{eqnarray*} a + b = a \cdot b \ \ \Leftrightarrow \ \ a \cdot b - b = a \ \ \Leftrightarrow \ \ \left( a - 1 \right) \cdot b = a \ \ \Leftrightarrow \ \ b = \frac{a}{a - 1} \end{eqnarray*}$

Beispiel: $\begin{eqnarray*} a = 11 \end{eqnarray*}$ liefert $\begin{eqnarray*} b = 1{,}1 \end{eqnarray*}$ . Probe: $\begin{eqnarray*} a + b = 12{,}1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a \cdot b = 12{,}1 \end{eqnarray*}$ . Hier ist also $\begin{eqnarray*} \gamma = 12{,}1 \end{eqnarray*}$ der gemeinsame Wert von Summe und Produkt.

Es kann aber auch sein, daß du $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ vorgeben willst:

$\begin{eqnarray*} a + b = \gamma \, , \ \ a \cdot b = \gamma \end{eqnarray*}$

Das läuft, wie Werner schon gesagt hat, auf eine quadratische Gleichung hinaus. Ich würde sie allerdings anders ansetzen, und zwar direkt mit dem Satz von Vieta. Danach sind $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ die Lösungen der quadratischen Gleichung

$\begin{eqnarray*} x^2 - \gamma x + \gamma = 0 \end{eqnarray*}$

Bestimme die Lösungsmenge in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ . Welche Werte für $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ sind nur zulässig, damit die Lösungen reell sind? Bis auf Symmetrie gibt es dann jeweils nur ein Lösungspaar. Für $\begin{eqnarray*} \gamma = 12{,}1 \end{eqnarray*}$ sollte das das Paar von oben sein.

23.07.2011, 15:11

riwe

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da sieht man halt den mathematiker.
ein alter esel wie ich denkt halt nicht an das naheliegende, genannt satz von vieta Augenzwinkern

23.07.2011, 22:04

0/0

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RE: Gleichung mit 3 unbekannten
Vielen Dank für eure Mühe und Geduld!!!

algo jetzt 0/0

24.07.2011, 09:42

riwe

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RE: Gleichung mit 3 unbekannten
noch 2 wirre gedanken zu meinem lösungsvorschlag:
1) für e=0 liefert lösung 1 das paar (2,2) und die zweite das paar (0,0).
2) aus der irrationalität ( verwirrt

) der wurzel für e <> 0 könnte man schließen, dass dies die einzigen ganzzahligen lösungen sind Augenzwinkern

bitte nicht kreuzigen Augenzwinkern

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