Gleichung lösen (Bertrand Competition - Nash Equilibrium)

22.07.2011, 18:39

Alarska

Gleichung lösen (Bertrand Competition - Nash Equilibrium)

Meine Frage:
Hi,

ich rechne mich gerade daran kaputt, aus den zwei obigen Gleichungen auf die untere zu kommen.. normalerweise konnte ich sowas eigentlich immer recht gut, aber meiner Kenntnisse sind wohl etwas eingerostet

[attach]20641[/attach]

Wäre wirklich sehr nett, wenn mir da jemand helfen könnte.

Meine Ideen:
Ich habe bestimmt 45 min versucht, die Gleichungen inneinander einzusetzen und dann aufzulösen, aber ich komme nicht weiter als

p1 * (4 - b^2) = 2a + ab + bc + 2c

22.07.2011, 18:48

riwe

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RE: Gleichung lösen (Bertrand Competition - Nash Equilibrium)
subtraktion liefert doch sofort - ohne sternchen Augenzwinkern

:

$\begin{eqnarray*} 2(p_1-p_2)=b(p_2-p_1) \end{eqnarray*}$

woraus der rest folgt

22.07.2011, 18:55

Alarska

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Ok, danke für die schnelle Antwort.. aber ich steh echt auf dem Schlauch - was substrahierst du denn von was?

22.07.2011, 19:10

riwe

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Zitat:

Original von Alarska
Ok, danke für die schnelle Antwort.. aber ich steh echt auf dem Schlauch - was substrahierst du denn von was?

das ist aber ein gewaltiger schlauch, mehr schon eine pipeline Augenzwinkern

gleichung 1) - gleichung 2) ergibt

$\begin{eqnarray*} 2(p_1 - .... =b(.... \end{eqnarray*}$

23.07.2011, 13:02

Alarska

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auf die Gefahr hin, dass die Pipeline an Durchmesser zulegt .. (wer nicht fragt, bleibt manchmal eben dumm..)

ich müsste doch eigentlich Gleichung zwei in Gleichung eins einsetzen.. !? Wieso kann ich sie dann einfach voneinander subtrahieren? p1 = p2 gilt ja nicht, so dass ich das auch nicht einfach umstellen kann..

23.07.2011, 13:47

riwe

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Zitat:

Original von Alarska
smile

da hast du recht:
nicht fragen ist dumm, sondern nicht fragen Augenzwinkern

du hast 2 gleichungen, d.h. auf der rechten seite und auf der linken seite steht "dasselbe"!
und "dasselbe" darf ich ja auf beiden seiten einer gleichung abziehen, ohne deren richtigkeit zu verletzen.

ergebnis: ich ziehe auf der linken seite von (1) $\begin{eqnarray*} p_2 \end{eqnarray*}$ aus (2) ab und auf der rechten seite von (1) $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(a+bp_1+c) \end{eqnarray*}$ aus (2) ab, beides ist ja GLEICH usw.

natürlich führen auch andere wege nach rom oder berlin Augenzwinkern

23.07.2011, 16:22

Alarska

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Ok - das hat mich schon mal weiter gebracht.. Freude

aber wie komme ich von da jetzt auf die Formel (3) ?

Da kann ich auch rechnen, was ich will, irgendwie klappts nicht.. Erstaunt2

Ich setze also in die neu gefundene formel $\begin{eqnarray*} 2(p1 - p2) = b(p2 - p1) \end{eqnarray*}$ wieder die Gleichungen (1) und (2) ein, komme aber irgendwie auf keine Gleichung, bei der a oder c überhaupt noch vorhanden sind, dafür aber $\begin{eqnarray*} b^2 \end{eqnarray*}$ ???

Am Ende lande ich bei $\begin{eqnarray*} b(p2 - p1) = b^2(p1 - p2) \end{eqnarray*}$

Forum Kloppe

edit: ahh moment - habe glaub ich grad den fehler gefunden..

edit 2: doch nicht gefunden .. natürlich muss ich nicht Gleichung (1) und (2) einsetzen, das war ein Fehler, aber wenn ich z.B. nur Gleichung (1) einsetze, komm ich wieder auf die gleiche Lösung wie am Anfang..

p1 * (4 - b^2) = 2a + ab + bc + 2c

??

23.07.2011, 17:54

riwe

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ich kann dir nur empfehlen:
üben, üben, üben...... Augenzwinkern

aus (1) - (2) folgt

$\begin{eqnarray*} 2(p_2-p_1)=b(p_2-p_1)\to p_2=p_1 \quad{ }(b\neq 2) \end{eqnarray*}$

nun setzt man einfach in (1) für $\begin{eqnarray*} p_2 \end{eqnarray*}$ ein:

$\begin{eqnarray*} 2p_1=a+b\cdot p_1+c \end{eqnarray*}$

daraus $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ zu berechnen, überlasse ich dir Augenzwinkern

23.07.2011, 20:18

Alarska

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ok, wir kommen der sache näher.. im Grunde dreht sich also alles darum, dass p1 = p2 ist und man das im Grund nur in (1) oder (2) einsetzt.. so bin ich jetzt auch auf (3) gekommen. smile

aber wie kommt man denn aus dem was du schreibst, d.h. aus $\begin{eqnarray*} 2(p_1-p_2)=b(p_2-p_1) \end{eqnarray*}$ , auf $\begin{eqnarray*} p_2=p_1 \end{eqnarray*}$

danke schon mal.. und "üben, üben, üben" nehm ich mir zu Herzen, deshalb bin ich ja auch so hartnäckig Augenzwinkern

23.07.2011, 21:19

riwe

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Zitat:

Original von Alarska
Hammer

ok, wir kommen der sache näher.. im Grunde dreht sich also alles darum, dass p1 = p2 ist und man das im Grund nur in (1) oder (2) einsetzt.. so bin ich jetzt auch auf (3) gekommen. smile

dann übe hier!

faße links die faktoren mit $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ zusammen und heb $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ heraus, dasselbe machst du rechts mit $\begin{eqnarray*} p_2 \end{eqnarray*}$

23.07.2011, 23:37

Alarska

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ok, da hätt ich wirklich selber drauf kommen können.. wahrscheinlich hab ich die sache einfach schon als "zu komplex" im kopf gehabt..

meine rechenkünste sind nach knapp zwei jahren ohne jegliche ansprüche daran wohl doch ein bißchen mehr als nur ein bißchen eingerostet ^^

danke dir, werner !!!

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