Randverteilung Min(exp, exp)

22.07.2011, 18:47

Gast124

Randverteilung Min(exp, exp)

Hallo,

ich habe zwei unabh Exp.-verteilte ZVn T,V mit Parametern $\begin{eqnarray*} \alpha_1, alpha_2 \end{eqnarray*}$ . In Teilaufgabe (i) soll man die Verteilung vom Minimum X=Min(T,V) ausrechnen. Das habe ich gemacht und da kommt raus:
$\begin{eqnarray*} 1-exp(- (\alpha_1 + \alpha_2)\cdot t \end{eqnarray*}$
Nun, dieses Ergebnis verwirrt mich leider weil es nur von einer Variable t abhängt und nicht von zwei Variablen t,v.
In der zweiten Teilaufgabe soll man die Randverteilung von X gegeben T ausrechnen.
Hmmm. Mein Ansatz ist Rausintegrieren nur wo und was? Bisher habe ich das auch immer nur bei Randdichten und nicht für Randverteilungen gemacht. Macht das einen Unterschied? Ohne Dichte/Verteilung in zwei Variablen kann ich mit der Aufgabenstellung nicht viel anfangen. Vielleicht ist meine Lösung zu (i) falsch?

2. Ich bin auf der Suche nach einem Beispiel für E(X|Y)=E(X) aber X und Y nicht unabhängig sind. Wie sieht ein klassisches Beispiel aus? Sind X,Y unkorreliert?

Danke für eure Hilfe,

22.07.2011, 19:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von Gast124
In Teilaufgabe (i) soll man die Verteilung vom Minimum X=Min(T,V) ausrechnen. Das habe ich gemacht und da kommt raus:
$\begin{eqnarray*} 1-exp(- (\alpha_1 + \alpha_2)\cdot t \end{eqnarray*}$
Nun, dieses Ergebnis verwirrt mich leider weil es nur von einer Variable t abhängt und nicht von zwei Variablen t,v.

Eine äußerst rätselhafte Anmerkung: Was du berechnet hast, ist die Verteilungsfunktion

$\begin{eqnarray*} F_X(t) = P(X\leq t) = P(\min(T,V)\leq t) = 1-\exp(-(\alpha_1+\alpha_2)t) \end{eqnarray*}$ ,

was für $\begin{eqnarray*} t\geq 0 \end{eqnarray*}$ richtig ist. Inwiefern vermisst du eine zweite Variable $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ??? geschockt

Anders ausgedrückt: Es geht nicht um die gemeinsame Verteilung des zweidimensionalen Vektors $\begin{eqnarray*} (T,V) \end{eqnarray*}$ , sondern um die Verteilung der reellen (d.h. eindimensionalen) Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X=\min(T,V) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Gast124
Mein Ansatz ist Rausintegrieren nur wo und was?

Es ist zu beachten, dass zwar $\begin{eqnarray*} (T,V) \end{eqnarray*}$ stetig verteilt ist, dies aber auf $\begin{eqnarray*} (T,X) \end{eqnarray*}$ nicht zutrifft (es ist z.B. $\begin{eqnarray*} P(T=X)>0 \end{eqnarray*}$ . was bei einer zweidimensional stetigen Verteilung nicht passeiren darf). Insofern gibt es dafür keine Dichte, somit dürfte das mit dem "Rausintegrieren" schwierig sein. Da musst du dir schon noch was anderes einfallen lassen.

22.07.2011, 20:24

Gast124

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Naja, man könnte eine Fallunterscheidung für T machen.
1. T >t
2. T <= t

Damit komme ich aber nicht weiter. Bekomm ich noch nen Tipp?
Gerne auch zu Punkt 2 smile

23.07.2011, 09:33

HAL 9000

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Tipp zu ii):

"Randverteilung von X gegeben T" verstehe ich nicht - meinst du am Ende die "bedingte Verteilung von X gegeben T", also $\begin{eqnarray*} P(X\leq x \bigm| T=t) \end{eqnarray*}$ ?

Falls ja, dann geht das so:

$\begin{eqnarray*} P(X\leq x \bigm| T=t) = P(\min(T,V)\leq x \bigm| T=t) = P(\min(t,V)\leq x \bigm| T=t) = P(\min(t,V)\leq x) = \begin{cases} P(V\leq x) & \;\mbox{falls}\; x<t \\ 1 & \;\mbox{falls}\; x\geq t \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

d.h., diese bedingte Verteilungsfunktion hat an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=t \end{eqnarray*}$ einen Sprung.

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