Modellanpassung Maximum-Likelihood-Schätzer

RE: Modellanpassung Maximum-Likelihood-Schätzer
Na, das ist schon etwas mehr als "nüscht".

Der erste Schritt ist also die Bestimmung von $\begin{eqnarray*} L(\pi) \end{eqnarray*}$ . Wie geht das?

22.07.2011, 19:29

ltec-flame

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(n über x) * p^x (1-p)^n-x

22.07.2011, 19:34

Huggy

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Quark!
Wir haben doch keine Binomialverteilung. Die Wahrscheinlichkeit für $\begin{eqnarray*} P(X=x) \end{eqnarray*}$ ist doch in der Aufgabe angegeben. Was ergibt sich also für das erste Element der Stichprobe $\begin{eqnarray*} P(X=5) \end{eqnarray*}$ ?

22.07.2011, 19:35

ltec-flame

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p(1-p)^5??

22.07.2011, 19:41

Huggy

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Richtig!
Das analoge gilt für jedes weitere Element der Stichprobe. Nun sind die einzelnen Stichprobenergebnisse unabhängig voneinander. Welche Gesamtwahrscheinlichkeit ergibt sich dann für die Stichprobe?

$\begin{eqnarray*} P(X_1=5, X_2=2, ...)=? \end{eqnarray*}$

22.07.2011, 19:42

ltec-flame

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und was ist p? 0,5?

22.07.2011, 19:45

Huggy

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Das ist der unbekannte Parameter. Und weil er unbekannt ist, kennen wir ihn noch nicht. Wir wollen doch gerade mit der ML-Methode einen Schätzwert für ihn finden.

22.07.2011, 19:48

ltec-flame

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okay. setzen wir das ratespielchen fort.
ist es vielleicht 2? d.h. alle werte addieren und dann durch 6 teilen?

22.07.2011, 19:51

Huggy

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Nein, keine Ratespielchen. Wir ziehen die Methode einfach durch. Da muss man nicht raten. Und der nächste Schritt ist die Beantwortung dieser Frage:

Zitat:

Das analoge gilt für jedes weitere Element der Stichprobe. Nun sind die einzelnen Stichprobenergebnisse unabhängig voneinander. Welche Gesamtwahrscheinlichkeit ergibt sich dann für die Stichprobe?

22.07.2011, 19:54

ltec-flame

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2,4? wenn nicht, habe ich keine ahnung, was ich machen soll.

22.07.2011, 20:02

Huggy

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Du hast doch nach einiger Mühe richtig erkannt, die Wahrscheinlichkeit für das erste Element der der Stichprobe, nämlich 5 ist:

$\begin{eqnarray*} P(X=5)=\pi(1-\pi)^5 \end{eqnarray*}$

Analog ist die Wahrscheinlichkeit für das zweite Element der Stichprobe, nämlich 2

$\begin{eqnarray*} P(X=2)=\pi(1-\pi)^2 \end{eqnarray*}$

Wie hoch ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintrifft, erst X = 5, dann X=2. Wie man die Wahrscheinlichkeiten für das Zusammentreffen unabhängiger Ereignisse kombiniert, solltest du wissen!

22.07.2011, 20:04

ltec-flame

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miteinander multiplizieren?
ich sitze seit 9 stunden am schreibtisch und lerne. irgendwann hat man einfach eine blockade im kopf. ich bitte dich, mir bei einem lösungsweg zu helfen oder mir den lösungsweg zu sagen, damit ich ihn nachvollziehen kann.

22.07.2011, 20:09

Huggy

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Helfen ja, sagen nein!

Und multiplizieren ist richtig. Dann kannst du doch jetzt die Wahrscheinlichkeit für

$\begin{eqnarray*} P(X_1=5, X_2=2, X_3=3, X_4=0,X_5=2) \end{eqnarray*}$

hinschreiben.

22.07.2011, 20:20

ltec-flame

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$\begin{eqnarray*} \pi (1-\pi )^{5}*\pi (1-\pi )^{2}*\pi (1-\pi )^{3}*\pi (1-\pi )^{0}*\pi (1-\pi )^{2} \end{eqnarray*}$

22.07.2011, 20:31

Huggy

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Richtig!
Den Ausdruck kannst du noch durch Zusammenfassen der Potenzen von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (1-\pi) \end{eqnarray*}$ vereinfachen. Das ist dann dein $\begin{eqnarray*} L(\pi) \end{eqnarray*}$ , nämlich die Wahrscheinlichkeit für das Stichprobenergebnis.

Der ML-Schätzer für $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ist nun das $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ , das diese Wahrscheinlichkeit maximiert. Das Maximum bekommt man, in dem man nach $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ableitet und die Ableitung gleich Null setzt. Einfacher ist es jedoch, erst zu logarithmieren und dann abzuleiten.

Also bilde jetzt $\begin{eqnarray*} \ln L(\pi) \end{eqnarray*}$ , leite ab und setze die Ableitung gleich Null und löse nach $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ auf.

22.07.2011, 20:42

ltec-flame

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$\begin{eqnarray*} \pi ^{5}*(1-\pi )^{12} \Rightarrow log(L(\pi ))= 5*log(\pi)+(12)*log(1-\pi ) \Rightarrow d log(L(\pi ))/d \pi = 5/\pi + 12/1-\pi \end{eqnarray*}$

22.07.2011, 20:49

Huggy

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Das ist fast richtig, aber nur fast. Beim Ableiten von $\begin{eqnarray*} \ln (1-\pi) \end{eqnarray*}$ hast du die innere Ableitung vergessen. Die ergibt noch ein -Zeichen. Korrekt ist also:

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{d \pi}\ln L(\pi)=\frac{5}{\pi}-\frac{12}{1-\pi} \end{eqnarray*}$

Damit sind wir fast fertig. Setze das gleich Null und löse auf.

22.07.2011, 20:56

ltec-flame

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ah stimmt mist...

$\begin{eqnarray*} \frac{5}{\pi } - \frac{12}{1-\pi } = 0 \Rightarrow \frac{5}{\pi } = \frac{12}{1-\pi } \Rightarrow \frac{5*(1-\pi )}{\pi } = 12 \Rightarrow 5 - 5\pi = 12 \pi \Rightarrow 5 = 17\pi \Rightarrow 5/17 =\pi \end{eqnarray*}$

22.07.2011, 20:57

Huggy

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War doch rückwärts betrachtet ein Kinderspiel oder?

22.07.2011, 21:01

ltec-flame

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ja wenn ich da nicht schon mein halben tag dran vergoldet hätte ja!
aber danke für die Hilfe

22.07.2011, 21:07

Huggy

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Man muss halt erst die Methode verstehen, sonst kann man ewig an einer Aufgabe sitzen. Und die Methode versteht man nicht, wenn man sie nur vorgesagt bekommt. Das wird schon in der Vorlesung gemacht. Und bei der ersten Übungsaufgabe stellt man fest, habe ich wohl doch nicht verstanden. Deshalb wird in diesem Forum nicht einfach vorgesagt.

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