hm folge-reihe

22.07.2011, 19:16

akamanston

hm folge-reihe

hi

was wäre denn die passende folge zu dieser reihe:

a1+a2+a3+...+an = $\begin{eqnarray*} s_n = \sum_{k=1}^k a_k \end{eqnarray*}$

ist die frage überhaupt sinnvoll?

ich frage deshalb, weil ich ein video gesehen hab indem
die folge lautet: an = 10 , 5 , 1
und nun kann ich aus der folge eine reihe ersetllen:
sn = 10 , 10+5 , 10+5+1

22.07.2011, 20:40

terri

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Die Folge zu deiner Reihe wären die $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ selber ... oder was willst du jetzt wissen?

Die Partialsummenfolge hingegen ist $\begin{eqnarray*} s_k = \sum_{j=1}^k a_j \end{eqnarray*}$

Vielleicht solltest du dir noch mal anschauen, wie Reihe, Folge und Partialsummenfolge definiert sind, dann sollte dir das ganze ziemlich schnell klar werden.

22.07.2011, 20:49

akamanston

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Zitat:

Original von terri
Die Folge zu deiner Reihe wären die $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ selber ... oder was willst du jetzt wissen?

Die Partialsummenfolge hingegen ist $\begin{eqnarray*} s_k = \sum_{j=1}^k a_j \end{eqnarray*}$

Vielleicht solltest du dir noch mal anschauen, wie Reihe, Folge und Partialsummenfolge definiert sind, dann sollte dir das ganze ziemlich schnell klar werden.

eben nicht, ich hab hier alle wiki artikel gelesen, und videos geschaut. und ich verstehs einfach nicht. ich vermute das ist ganz einfach, aber irgendwas erreicht mein kopf nicht ganz.

das ganze dient ja einer präsentation.
eigentlich möchte ich auf potenzreihen(und das lösen von dgl durch potenzreihen) hinaus, aber vorher möchte ich die begriffe reihe und folge kurz erkläutern.
bei mir sieht das so ungefähr aus^^

Was ist eine Folge/Reihe?
Folge: Auflistung (un-)endlich vieler fortlaufend nummerierten Zahlen
z.B.: (an)= a1 , a2 , a3 , a4 , … , an
Reihe: Summe über die Glieder eine Folge.
z.B. (sn) = a1 , a1+a2 , a1+a2+a3 , … , a1+a2+a3+…+an

hat an und sn eine bedeutung?

23.07.2011, 00:22

lgrizu

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Das ist doch schon mal gar nicht so schlecht.

Eine Folge bezeichnen wir mit $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ , eine Reihe mit $\begin{eqnarray*} s_n=\sum a_n \end{eqnarray*}$ , wobei a_n eine Folge ist.

Wir schauen uns einmal die Zahl e an, die Folgendarstellung von e ist $\begin{eqnarray*} e=\left(1+\frac{1}{n} \right)^n \end{eqnarray*}$ , die Reihendarstellung ist $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{ \infty} \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$ , beides ist die gleiche Zahl.

Haben wir eine Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ , so können wir daraus eine neue Folge "konstruieren", indem wir die ersten n Folgengleider aufsummieren.

machen wir das einmal an einem Beispiel:

Wir betrachten die Folge $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$ , die Folge der Partialsummen (also die Reihe) wäre dazu $\begin{eqnarray*} s_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{2^k}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+.....+\frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$

Wir summieren also die Folgengleider bis zum n-ten Folgenglied auf.

Es ist auch keine Schande, wenn du als Schüler damit Probleme hast, im ersten Semester des Grundstudiums Mathematik wird sich ca. 4-5 Wochen nur mit dem Thema Folgen und Reihen beschäftigt.

Du solltest nun ein wenig System in deine Threads bringen, dieses Forum, so gut es ist Augenzwinkern

bietet keinen Raum, Themen vollständig aufzuarbeiten und ich erkenne momentan keine Struktur in deiner Fragestellung oder besser gesagt in den verschiedenen Fragestellungen.

23.07.2011, 00:32

akamanston

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Zitat:

Original von lgrizu
Das ist doch schon mal gar nicht so schlecht.

das ist balsam für meine seele, sagt man doch so

Zitat:

Original von lgrizu
Eine Folge bezeichnen wir mit $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ , eine Reihe mit $\begin{eqnarray*} s_n=\sum a_n \end{eqnarray*}$ , wobei a_n eine Folge ist.

Wir schauen uns einmal die Zahl e an, die Folgendarstellung von e ist $\begin{eqnarray*} e=\left(1+\frac{1}{n} \right)^n \end{eqnarray*}$ , die Reihendarstellung ist $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{ \infty} \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$ , beides ist die gleiche Zahl.

Haben wir eine Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ , so können wir daraus eine neue Folge "konstruieren", indem wir die ersten n Folgengleider aufsummieren.

machen wir das einmal an einem Beispiel:

Wir betrachten die Folge $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$ , die Folge der Partialsummen (also die Reihe) wäre dazu $\begin{eqnarray*} s_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{2^k}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+.....+\frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$

Wir summieren also die Folgengleider bis zum n-ten Folgenglied auf.

okay soweit so gut, ich habe aber gehört es hat sich so eingebürgert, dass man die abstände für das n nicht genau deklariert. normal müsst man ja sagen dass n element von N ist und immer im abstand von 1 gewählt wird. aber das lässt man aus faulheit weg, kann das so in etwa sein? ok jetzt werde ich die reihen schon hinbekommen, jedoch besteht immer noch das problem, wie ich nun zu potenzreihen bzw reihenentwicklung überleite.

kann ich so sagen ala

"das waren jetzt einfache zahlenbeispiele, für dgl sieht das jedoch deutlich komplizierter aus, da benötig man andere reihen, nämlich potenzreihen"

Zitat:

Original von lgrizu
Es ist auch keine Schande, wenn du als Schüler damit Probleme hast, im ersten Semester des Grundstudiums Mathematik wird sich ca. 4-5 Wochen nur mit dem Thema Folgen und Reihen beschäftigt.

ja ist keine schande, das akzepitert mein lehrer aber nicht, weil ich mir wohl gar nicht bewusst bin wie einfach ich es halten könnte, aber ich mach es wieder komplizierter als es ist=)
außerdem hat mich meine lehrerin ausgelacht als ich ihr nicht sagen konnte was folgen/reihen sind, die meinte dann noch sogar: das musst DU wissen, steht sogar in der formelsammlung!!! ich checks dennoch nicht Big Laugh

Zitat:

Original von lgrizu
Du solltest nun ein wenig System in deine Threads bringen, dieses Forum, so gut es ist Augenzwinkern

bietet keinen Raum, Themen vollständig aufzuarbeiten und ich erkenne momentan keine Struktur in deiner Fragestellung oder besser gesagt in den verschiedenen Fragestellungen.

das sind alles panik-threads, ich habe ja versucht alles in einen zu schreiben, aber das klappt so nicht^^

23.07.2011, 00:49

lgrizu

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Dass n aus IN kommt ist zumeist klar, wie sollte man auch eine Folge auffassen, wo vielleicht noch das erste Folgengleid bekannt ist, aber der Nachfolger nicht, denn zwischen zwei beliebeigen rationalen Zahlen liegen unendlich viele rationale Zahlen, und die rationalen Zahlen sind immerhin noch abzählbar, bei den reellen Zahlen wird es dann richtig kernig.

23.07.2011, 01:00

akamanston

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Zitat:

Original von lgrizu
Folgendarstellung von e ist $\begin{eqnarray*} e=\left(1+\frac{1}{n} \right)^n \end{eqnarray*}$

kann ich das auch mit mehreren termen darstellen?
und wie kommt man auf die dazugehörige reihendarstellung?

23.07.2011, 01:19

lgrizu

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Die erste Frage verstehe ich nicht.

Aus der Folgendarstellung kann man die Reihendarstellung herleiten mit dem binomischen Lehrsatz, den Beweis findest du sicherlich auch irgendwo im Internet, heute Abend (Nacht) führe ich den nicht mehr aus, geh jetzt lieber schlafen.

23.07.2011, 01:27

akamanston

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ok gute nacht

kann ich auch schreiben

an(e) = $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n} \right)^n \end{eqnarray*}$ ?

was hat k für eine bedeutung?

23.07.2011, 01:29

lgrizu

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Welches k? Das in der Summe? Man beginnt bei k=1 zu summieren, das k "durchläuft" also alle Zahlen von 1 bis n.

23.07.2011, 01:43

akamanston

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Zitat:

Original von lgrizu
Welches k? Das in der Summe? Man beginnt bei k=1 zu summieren, das k "durchläuft" also alle Zahlen von 1 bis n.

also in unserem beispielt war ja k=0, man beginnt also bei 0

kann ich dann sagen(als überleitung)
zahlen gibt man als reihen/folgen dar und funktionen stellt man als potenzreihen dardann wäre das doch schon eine überleitung und dann bringe ich mein beispielt mit der e-funktion

weiso unterscheidet sich die potenzreihe(allgemein) so sehr von der potenzreihe der e-funktion. wo fällt das x-x0 hin?
wie komme ich von der potenzreihe auf die potreihe der e-funktion

23.07.2011, 11:15

lgrizu

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Ich würde vielleicht mit Folgen und Reihen anfangen (kurze Erklärung), dann die Exponentialreihe angeben und diese ableiten, das ist eine einfache Polynomableitung um zu zeigen, dass (exp(x))'=exp(x) ist um dann auf die Lösung der einfachsten DGL y=y' zu kommen.

Zitat:

zahlen gibt man als reihen/folgen dar und funktionen stellt man als potenzreihen dardann wäre das doch schon eine überleitung und dann bringe ich mein beispielt mit der e-funktion

Das ist so nicht ganz richtig.

Die Taylorreihe der exp-Funktion konvergiert auf ihrem gesamten Definitionsbereich, das ist nicht bei jeder Funktion so. Jede Taylorreihe konvergiert in ihrem Entwicklungspunkt x_0 und in einem Konvergenzradius um diesen Entwicklungspunkt, der Konvergenzradius ist jedoch selten unendlich.

Bilde doch einmal die Taylorreihe der exp-Funktion um den Entwicklungspunkt x_0=0 und vergleiche das mit der Reihendarstellung von exp(x).

Eine Potenzreihe um den Entwicklungspunkt x_0 hat die Form $\begin{eqnarray*} \sum a_k \cdot (x-x_0)^{f(k)} \end{eqnarray*}$ , wobei f(k) eine Funktion von k (die von den natürlichen Zahlen in die natürlichen Zahlen geht) ist (zum Beispiel f(k)=2k oder f(k)=k im Idealfall).

23.07.2011, 13:06

akamanston

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morgen,

ich habs mal überflogen, habe aber dann ein fussballspiel. ich kick da kurz und dann bin ich sofort wieder da.
aber bei mir hieß die potenzreihe einfach hoch n und nicht hoch f(k), habs einfach aus wiki kopiert, sollte so schon passsen.bei dir ist f(k) = auch einfach eine natürliche zahl oder.
wenn ich die e-reihe ableite, dann komme ich irgendwann bei dr 1 und danach bei der 0 an.
ich "entschmiege" quasi den graph der e-funktion, wieso sollte ich das aufzeigen?
sinnvoller ist es doch wenn ich durch mein ansatz e(x) = x+1, meine gerade an die e-funktion anschmiege und letzt endlich die e-funktion herauskommt
frage: da kommt ja 1:1 die e-funktion heraus, aber die reihe ist ja unendlich, was ist wenn ich die reihe endlich gestalte

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