Basiswechsel

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KarlB. Auf diesen Beitrag antworten »
Basiswechsel
Sei S=() die Standardbasis des
Sei B=() eine weitere Basis des

Gesucht ist die Transformationsmatrix, die den Basiswechsel von der Standardbasis S nach B beschreibt.

Liege ich richtig, dass ich hierfür





berechne und dann die Transformationsmatrix des Basiswechsels von S nach B ist?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht gut aus rechne es doch mal aus und wende deine Basiswechsel Matrix auf S an!
KarlB. Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab halt grad in einem buch gelesen, dass man die transformationsmatrix des basiswechsels von S nach B erhält, indem man





berechnet und man erhält


Aber meine obige Variante erscheint mir da sinnvoller.
Oder muss man es machen wie jetzt von mir dargestellt?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Hehe, da hab ich wohl nicht aufgepasst. Also zur Erklärung:

Du willst von der Basis S zur Basis B kommen. Das heißt Du willst die Basis Vektoren aus B irgendwie mit den Basisvektoren aus S darstellen. Das was Du berechnet hast wäre dann die Transformation von B nach S, und es sollte die Inverse zur Transformation von S nach B sein.
KarlB. Auf diesen Beitrag antworten »

Also muss ich es so machen wie ich es als zweites geschrieben habe?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Variante ist falsch. Richtig ist folgende:



.

Gruß MSS
 
 
KarlB. Auf diesen Beitrag antworten »

Ist es denn nicht so, dass man, wenn man den Koordinatenvektor eines Vektors bezüglich der Basis S mit der Matrix multipliziert, den Koordinatenvektor des Vektors bezüglich der Basis B bekommen soll?

Und das ist doch in meiner ersten Variante der Fall.
KarlB. Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo mathespezialschüler.

Wäre echt nett, wenn du mir mal erklären könntest warum man es so machen muss wie du schreibst......
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

1. Ja, das ist so und genau so steht es auch in meinem Beitrag.
2. Du hast irgendwelche Unbekannten mit den Vektoren der Basis multipliziert. Wenn, dann hättest du wenigstens mit denen der Basis multiplizieren müssen. [edit-Anfang]: Diese Aussage ist in der Allgemeinheit falsch, siehe weiter unten. [edit-Ende]
3. Zeig mir mal, wie du deine Gleichungen so umformst, dass genau die von dir angesprochene Gleichung mit der Matrixmultiplikation rauskommt.

Gruß MSS
KarlB. Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie hab ich hier größere Verständnisprobleme.....

Betrachten wir z.B. den Vektor Dieser lässt sich ja dann aus der Basis S wie folgt darstellen
, hat also die Koordinaten (2,2) bezüglich der Basis S.

Der Vektor lässt sich doch auch aus der Basis B darstellen:
, hat also die Koordinaten (-1,1) bezüglich der Basis B.

Muss nun nicht wenn ich mit der Matrix des Basiswechsels multipliziere herauskommen.


Wär echt toll, wenn du mir mal erklären könntest wo mein denkfehler liegt.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, deswegen sind meine Gleichungen oben auch falsch und korrekt sind



.

Ändert aber nichts an der Falschheit deiner Gleichungen.

Gruß MSS
KarlB. Auf diesen Beitrag antworten »

Aber das ist doch genau das, was ich oben geschrieben habe.

In beiden Fällen (sowohl bei dir alsw auch bei mir) kommt jetzt die Matrix

heraus.


Ist es also doch so richtig, wie ich es anfangs geschrieben habe?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Die beiden Wege fallen auch zusammen:

Seien zwei Basen.

Dann ist :

und


oder kurz geschrieben:




Wobei v,w die jeweiligen koeffizienten sind. Das ist einfach die Darstellung der Basisvektoren mittels der anderen Basis. Für die Übergangsmatrix P von w nach v gilt dann entsprechend:



und es ist

V = WP

wenn V und W die Basen als Matrix darstellen. Da ist das was Du gemacht hast Karl und völlig legitim. Du musst nur aufpassen das Du die koeffizienten richtig wählst. Der andere Weg von Max ist im Prinziep der Ansatz wenn man die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung berechnen will.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du dir mit der Fragestellung nicht schon selbst ein Bein gestellt Augenzwinkern





Wobei sowohl Basen des sind.

Dann ist:

die Matrix des Basiswechsels von B nach E. Somit ist



die gesuchte Transformationsmatrix
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Hmmm, sehr komisch. Stimmt tatsächlich, was du geschrieben hast. Sorry, dass ich das die ganze Zeit als falsch tituliert habe!
Dürfte so aber nur für die Einheitsbasis funktionieren! Sonst solltest du meinen Ansatz wählen.
Insgesamt kann man deine beiden Gleichungen nämlich so schreiben:

.

Und meine beiden Gleichungen kann man so zusammenfassen:

.

Du siehst also, dass die gesuchte Matrix die Inverse zu ist. Wenn du allerdings nicht die Standardbasis hast, steht auf der rechten Seite auch nicht die Einheitsmatrix und dann muss auch nicht bei beiden Gleichungen dasselbe Ergebnis rauskommen, weil die Matrixmultiplikation i.A. nichtkommutativ ist.

Gruß MSS
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Laut unserem Script wird bei Basistransformation der ganzen Basis von rechts, die Koordinaten aber links multipliziert und der Weg geht wie oben beschrieben auch immer, Beispiel erst einmal:




Es sei:




Dann sind:



Mit

ist dann



Der allgemeine Beweis ist oben Skizziert und natürlich ausführlicher in meinem Script.
KarlB. Auf diesen Beitrag antworten »

Ist in deinem Beispiel die Matrix A jetzt
die Transformationsmatrix des Basiswechsels von nach
ODER
die Transformationsmatrix des Basiswechsels von nach ?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab es doch hingeschrieben.
KarlB. Auf diesen Beitrag antworten »

Wär nett wenn du es nochmal in worten für mich schreiben könntest.
von nach oder von nach . denn da hab ich ja mein verständnisproblem.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab geschrieben, also wenn ich P auf anwende kommt raus. Damit hab ich von transformiert.
KarlB. Auf diesen Beitrag antworten »

Okay. Dann ist also mein erster Eintrag falsch und das was ich dort geschrieben habe ist der Basiswechsel von B nach S und NICHT von S nach B.
Richtig? Hab ich es jetzt endlich vertsanden? smile
KarlB. Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben das halt nicht in der Vorlesung definiert. Aber es muss doch klar geregelt sein, was die Transformationsmatrix des Basiswechsels von einer Basis B nach einer Basis C ist.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ist auch klar definiert, die Matrix die Du auf B anwendest so das S rauskommt ist die Transformation von B nach S ...
Besucherin Auf diesen Beitrag antworten »

Eben nicht!! So wie du es am Anfang geschrieben hattest, war es richtig. (siehe in bel. Buch ueber Lin. Alg.)
wenn B_1, B_2 zwei Basen von V sind und es gilt B_1*T = B_2 , dann ist T die Transformationsmatrix von B_2 nach B_1.

Gruss
Nausikaa
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