Darf man einen sattelpunkt Extrempunkt nennen? |
| 23.07.2011, 06:49 | neena | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Darf man einen sattelpunkt Extrempunkt nennen? In meinem Mathebuch gibt es eine Übungsaufgabe mit vorgegebener Lösung. Es geht darum aus f``(x)=-x+1 zu schließen, wie viele Extrempunkte und Wendepunkte die dazugehörige Funktion haben kann. Meine Ideen: Wendepunkt bei x=0, kein weiterer wendepunkt(auch kein Sattelpunkt, da dieser ja ebenfalls ein Wendepunkt ist) möglich. Extremstellen 0 oder 2 Antwort aus dem buch:Wendepunkt bei x = 1; Es kann 0, 1 oder 2 Extrempunkte geben; gibt es einen, so ist dies ein Sattelpunkt. Oder ist mit dies gemeint, dass der Wendepunkt bei x=1 ein Sattelpunkt ist und es ein Extrempunkt gibt. Ich verstehe den Satz so, als ob sich das dies auf den Extrempunkt bezieht. |
||||||
| 23.07.2011, 07:24 | Nutzername | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist falsch: Für einen Wendepunkt muss die 2. Ableitung 0 sein (und einen Vorzeichenwechsel haben). f''(x)=-x+1=0 -> x=1 (vgl. Lösung) Zu den Extrema: Wir kennen f'(x) nicht, da f' eine Konstante besitzen kann, die beim Ableiten wegfällt. f'(x)=-0,5x²+x+C Je nach dem Wert für C kann f'(x) also 0, 1 oder 2 Nullstellen haben und die Funktion somit 0-2 Extrema. Mögliche Graphen der 1. Ableitung: Der blaue Graph liefert 2 Extrema, der rote eines und der grüne keines.
...gibt es genau einen Extrempunkt, so handelt es sich bei diesem Extrempunkt um einen Sattelpunkt. Und wie lässt sich die Aussage über den Sattelpunkt belegen? Man muss bei f'(x)=-0,5x²+x+C das C so festlegen, dass es genau eine Nullstelle gibt. Diese Nullstelle liegt, wie der Wendepunkt, bei x=1. (Das darfst du gerne nachrechnen) |
||||||
| 23.07.2011, 08:54 | neena | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
sorry, hatte mich vertippt, Wendestelle bei x= 1 hatte ich auch raus. Mir gng es mehr um den Satz, dass wenn es nur einen Extrempunkt gibt, dieser ein Sattelpunkt sein muss. Aber ein Extrempukt kann doch kein Sattelpunkt sein, weil es wenn es ein Sattelpunkt ist kein Extremum mehr ist... Zumal ich die zweite Ableitung ja habe, wenn ich dort nur einen Wert als mögliche Wendestelle rausbekomme, kann ja nicht plötzlich noch irgentwo ein Sattelpunkt auftauchen, der hätte ja auch bei f``(x)=0 erscheinen müssen. Das x=1 ein Extremum sein soll ist doch aber damit ausgeschlossen, dass f"(x) an dieser Stelle einen VZW hat. Das es an dieser Stelle einen Sattelpunkt gibt, will ich ja nicht ausschließen, aber dann eben anstelle des Wendepunkts. |
||||||
| 23.07.2011, 09:05 | neena | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich verstehe den Satz nicht so, dass damit gemeint ist, dass die erste Ableitung einen extrempunkt hat und damit der funktionsgraph einen Satelpunkt.Dann wäre es logisch, aber es hört sich für mich so an, dass sich alles auf den Funktionsgraphen bezieht und dann kann ein Extrempunkt doch nicht gleichzeitig ein Sattelpunkt sein. Auch wenn ich von deiner Zeichnng ausgehe, dann kann der funktionsgraph nur 0 oder 2 Extrema haben, denn wenn die erste ableitung =0 ohne VZW gibt es insgesamt einen Sattelpunkt des Funktionsgraphen. |
||||||
| 23.07.2011, 09:27 | neena | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich versuche nochmal mein Problem klarer auszudrücken. hat die 1 Ableitung 2 Nullstellen, hat der Funktionsgraf 2 Extrema und einen WP hat die Ableitung o Nullstellen, hat der Funktionsgraph einen Wendepunkt, keine Extrema hat die 1 Ableitung eine Nullstelle, muss diese doppelt sein, also kein VZW, dann hat der Funktionsgraph nur einen Sattelpunkt(anstelle des "normalen" WP),keine Extrema Also sind nur 0 oder 2 Extrema möglich, weil man einen Sattelpunkt nicht als Extremum bezeichnet. |
||||||
| 23.07.2011, 09:29 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist richtig, entweder Extremum oder Sattelpunkt, ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit einer waagerechten Tangente und kein Extrempunkt. Das hatten wir in einem anderen Thread aber schon einmal..... Kommen wir einmal zurück zu der Aufgabe: gegeben ist f''(x)=-x+1, Ableitung bilden ergibt was? Wie viele Wendepunkte liegen vor? Richtige Antwort ist: es existiert ein Wendepunkt. Nun gibt es die Möglichkeiten, dass dieser Wendepunkt ein Sattelpunkt ist, dann existiert kein Extremum, oder es existieren zwei Extrema, da die Ausgangsfuntion den Grad 3 hat. Die Möglichkeit, dass genau ein Extremum existiert gibt es hier nicht. Eine richtige Formulierung des Satzes wäre also "verschwindet die erste Ableitung an nur einer Stelle x_0 so liegt ein Sattelpunkt vor". Aber das verschwinden der ersten Ableitung ist kein hinreichendes Kriterium für einen Extrempunkt. |
||||||
| Anzeige | ||||||
|
|
||||||
| 23.07.2011, 10:40 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Oder sagen wir es so: Wenn ganzrational vom Grad 1 ist, dann muß ganzrational vom Grad 2 und ganzrational vom Grad 3 sein. Der Graph von ist also eine Parabel. Diese trifft die -Achse entweder gar nicht: dann ist streng monoton ohne Sattelpunkt oder genau einmal (in ihrem Scheitelpunkt): dann ist streng monoton mit Sattelpunkt oder genau zweimal: dann besitzt der Graph von einen Hoch- und einen Tiefpunkt, aber keinen Sattelpunkt Beispiele zu den drei Fällen der Reihe nach: Durch nochmalige Integration erhältst du Terme für . |
||||||
| 24.07.2011, 07:47 | neena | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke,genau das meinte ich . Ich wollte nur eben die Bestätigung dafür, dass die Lösung im Buch, die eben besagt es könne 0,1, oder 2 geben falsch oder zumindest sehr ungenau ausgrdrückt ist. |
||||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
