jordan normalform bestimmen

23.07.2011, 11:14	monkeystriker	Auf diesen Beitrag antworten »
jordan normalform bestimmen hey ich soll von der matrix A= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ die jordan normal form J bestimmen und will dann noch U finden, sodass U^-1AU=J. dazu habe ich das Char Polynom bestimmt: $\begin{eqnarray} (1-x)^2(-2+x) \end{eqnarray}$ also habe ich als eigenwerte 1 mit der alg multipli 2 und den eigenwert 2 mit der alg mult 1. soweit so gut. jetzt bestimme ich die kerne der haupträume: $\begin{eqnarray} (A-1E) = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} und (A-1E)^2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ,sowie $\begin{eqnarray} ker(A-2E) = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und jetzt komme ich nicht weiter. was muss ich jetzt wie ergänzen um auf U zu kommen http://www.danielwinkler.de/la/jnfkochrezept.pdf das hat leider auch nicht weiter geholfen. Ist mein längster Jordanblock 2 lang weil alg mult vom eigenwert 2 ist? und was hat das mit A^m = 0 auf sich wo kommt das rein?
23.07.2011, 11:54	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du das char. Polynom zu $\begin{eqnarray} f_A = (x-1)^2(x-2) \end{eqnarray}$ bestimmt hast, dann stellt sich doch nur noch eine Frage: Hat der Jordanblock zum EW 1 Größe 2 oder gibt es 2 Blöcke der Größe 1? Wenn letzteres der Fall wäre, so wäre A sogar diagonalisierbar, also gäbe es eine Basis aus Eigenvektoren. Dann müsste aber $\begin{eqnarray} \dim \operatorname{Kern} (A-E) = 2 \end{eqnarray}$ sein. Dies hast du aber schon ausgeschlossen. Also ist doch alles klar. $\begin{eqnarray} \operatorname{Kern} (A-E)^2 \end{eqnarray}$ musst du übrigens nicht mehr extra berechnen, etwas Theorie aus der linearen Algebra garantiert dir nämlich $\begin{eqnarray} \dim \operatorname{Kern} (A-E)^2 = 2 \end{eqnarray}$
23.07.2011, 12:25	monkeystriker	Auf diesen Beitrag antworten »
also sieht die matrix J so aus : $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und wie komme ich jetzt auf U?
23.07.2011, 12:35	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Für U musst du die Jordanbasis bestimmen. Ist $\begin{eqnarray} \{v_1,v_2,v_3\} \end{eqnarray}$ die gesuchte Jordanbasis, so gilt offensichtlich: $\begin{eqnarray} v_2 \end{eqnarray}$ ist EV zu EW 1 $\begin{eqnarray} v_3 \end{eqnarray}$ ist EV zu EW 2 und $\begin{eqnarray} Av_1 = v_1+v_2 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} (A-E)v_1=v_2 = Av_2 \end{eqnarray}$ Daraus folgt $\begin{eqnarray} (A-E)^2v_1=(A-E)v_2=Av_2-v_2=0 \end{eqnarray}$ Foglich musst du $\begin{eqnarray} v_1 \in \operatorname{Kern}(A-E)^2 \end{eqnarray}$ wählen, aber so, dass $\begin{eqnarray} v_1 \notin \operatorname{Kern}(A-E) \end{eqnarray}$ , weil sonst $\begin{eqnarray} v_2 = 0 \end{eqnarray}$ wäre. Also musst du diesen Kern doch bestimmen (da du ja auch die Basis willst).
23.07.2011, 13:09	monkeystriker	Auf diesen Beitrag antworten »
ok dann habe ich jetzt als U : $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und als entsprechend U^1 was dann auch stimmt. hatte ich vorhin schon allerdings habe ich da nen Rechenfehler reingebaut was mir dann die ganze Aufgabe versaut hat... aber danke erstmal. ganz verstanden habe ich das Verfahren noch nicht aber rechnen kann ich das erstmal und der Rest kommt dann von alleine

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