Martingal und Wiener Prozess

23.07.2011, 13:49

Stata

Martingal und Wiener Prozess

Hallo und einen schönen Samstag-Mittag

Ich bin wieder bei meinem "Lieblingsthema" und bräuchte etwas Hilfe: Den Samstag wird mir durch eine Aufgabe zur Martingaleigenschaft bereichert Augenzwinkern

. Ich habe also einen Wiener-Prozess $\begin{eqnarray*} \left\{ W_{t}\right\} \end{eqnarray*}$ über dem filtrierten Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray*} \left[\Omega, \Im, F, P\right] \end{eqnarray*}$ , mit F die natürliche Filatration von W. Nun soll ich u.a. zeigen, dass der Prozess $\begin{eqnarray*} \left\{ W_{t}^{2}-t\right\}_{t\geq 0} \end{eqnarray*}$ ein Martingal ist.

Hier mal ein Versuch:

[a] Adaptierheit ist ex definitione der Filtration gegeben.
[b] Integrierbarkeit: $\begin{eqnarray*} E[|W_{t}^{2}-t|]<\infty \end{eqnarray*}$ , d.h. hier:
$\begin{eqnarray*} E[\|W_{t}^{2}\|]-E[t] =\ |E[W_{t}^{2}]-E[t]\|=\|1-t\|=t-1<\infty \end{eqnarray*}$ , wobei ich mir nicht sicher bin, ob ich das so machen darf... Hammer

[c] Martingaleigenschaft: $\begin{eqnarray*} E[W_{t}^{2}-t|\Im_{s}]=E[W_{t}^{2}-t-W_{s}+s|\Im_{s}]+W_{s}^{2}-s \end{eqnarray*}$ . Jetzt müsste eigentlich der Erwartungswert-Ausdruck gleich 0 sein, ich sehe aber nicht warum...

Vielleicht hat ja hier jemand für mich einen Tipp. Das würde mir den Samstag retten Augenzwinkern

24.07.2011, 00:07

Mecky

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Zu b) Nein, das geht so nicht, nutze einfach nur die Dreiecksungleichung
Zu c)
Zeige $\begin{eqnarray*} E[W_s^2-W_t^2]=s-t \end{eqnarray*}$

24.07.2011, 12:47

Mecky

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Zitat:

Original von Mecky
Zu b) Nein, das geht so nicht, nutze einfach nur die Dreiecksungleichung
Zu c)
Zeige $\begin{eqnarray*} E[W_s^2-W_t^2]=s-t \end{eqnarray*}$

Sry, zeige $\begin{eqnarray*} E[W_s^2-W_t^2| F_s]=s-t \end{eqnarray*}$

25.07.2011, 11:07

Stata

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Hallo Mecky

Habe mir gestern eine Auszeit genommen... smile

Die Dreiecksungleichung - lange ist es her: Du meinst $\begin{eqnarray*} |a-b|< |a| - |b| \end{eqnarray*}$ . Dann würde ich doch $\begin{eqnarray*} E[|W_{t}^{2}-t|]<E[|W_{t}^{2}|]-E[|t|]=2t-t=t \end{eqnarray*}$ erhalten.

Teil (c) folgt, aber schon einmal besten Dank für Deine Hilfe.

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