wegzusammenhängend impliziert zusammenhängend

23.07.2011, 13:34	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
wegzusammenhängend impliziert zusammenhängend Meine Frage: Beweise folgende Proposition: Sei $\begin{eqnarray} U\subseteq \mathbb R^n \end{eqnarray}$ oder metrischer Raum. Es gilt: U wegzusammenhängend $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ U zusammenhängend [Anmerkung: $\begin{eqnarray} \Leftarrow \end{eqnarray}$ gilt im Allgemeinen nicht!] Meine Ideen: Ich nehme an, daß U nicht zusammenhängend ist, das heißt: $\begin{eqnarray} U=U_1\cup U_2, U_1\cap U_2=\emptyset, U_1,U_2\neq\emptyset \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} U_1,U_2 \end{eqnarray}$ sind beide offen. Betrachte nun $\begin{eqnarray} x\in U_1, y\in U_2 \end{eqnarray}$ und einen Weg $\begin{eqnarray} \theta:[0,1]\to U \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \theta(0)=x, \theta(1)=y \end{eqnarray}$ . Diesen Weg gibt es ja nach Voraussetzung und er ist per Definition stetig. Setze $\begin{eqnarray} V_1:=\theta^{-1}(U_1), V_2:=\theta^{-1}(U_2) \end{eqnarray}$ . Es gilt dann $\begin{eqnarray} [0,1]=V_1\cup V_2 \end{eqnarray}$ (disjunkt). Hierbei gilt nun: 1. $\begin{eqnarray} V_1,V_2 \end{eqnarray}$ sind offen in [0,1], denn $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ ist, wie gesagt, stetig und die Urbilder von offenen Mengen sind unter stetigen Abbildungen ebenfalls offene Mengen! 2. $\begin{eqnarray} 0\in V_1, 1\in V_2 \end{eqnarray}$ , genauer: $\begin{eqnarray} V_1\cap V_2=\emptyset \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} U_1\cap U_2=\emptyset \end{eqnarray}$ ; insbesondere sind also $\begin{eqnarray} V_1, V_2 \end{eqnarray}$ nicht leer. Dies alles ist aber nicht möglich, denn [0,1] ist zusammenhängend! [Den Beweis dafür lasse ich hier weg, weil ich das schon in einem anderen Thread habe.] Es ist also ein Widerspruch herbeigeführt. Daraus folgt, daß U zusammenhängend ist. q.e.d. Dies meine Idee.
23.07.2011, 22:55	SW	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist deine Frage? Du hast doch einen Beweis... Bei deinem zweiten Punkt solltest du etwas formal ändern, da stehen zwei verschiedene Aussagen drin... sonst, ja, passt.
23.07.2011, 23:01	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Meine Frage war einfach, ob das so okay ist. Danke!
28.09.2022, 12:24	Lau	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: wegzusammenhängend impliziert zusammenhängend Hallo. Ich hätte noch eine Frage zu dem Beweis. Wieso gilt [0,1]=V1∪V2?
28.09.2022, 14:41	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Beweis liegt mehr als 11 Jahre zurück! Außerdem kann man deine Frage nicht lesen! Korrigiere bitte dein cut 'n' paste ! mY+
29.09.2022, 10:20	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu jeder Abbildung $\begin{eqnarray} f\colon X\to Y \end{eqnarray}$ gilt für die Urbild-Operation die Regel $\begin{eqnarray} f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B) = f^{-1}(A\cup B), \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} A,B\subseteq Y \end{eqnarray}$ beliebig sind. Daher darf man rechnen: $\begin{eqnarray} V_1\cup V_2 = \theta^{-1}(U_1)\cup\theta^{-1}(U_2) = \theta^{-1}(U_1\cup U_2) = \theta^{-1}(U) = [0,1]. \end{eqnarray}$
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29.09.2022, 11:50	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
@Finn_ natürlich ist es dir bewusst, aber nur um es sehr explizit zu machen: Es gilt $\begin{eqnarray} f^{-1}(Y) = X \end{eqnarray}$ für jede Abbildung der Form von dir.

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