Monotonie e-Funktion

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RatlosesDing Auf diesen Beitrag antworten »
Monotonie e-Funktion
Meine Frage:
Ich muss folgende Aufgabe lösen und komm an einer Stelle nicht weiter:

Man beweise, dass die Funktion



für alle monoton wachsend ist. Man bestimme die Umkehrfunktion zu .

Meine Ideen:
Ich hab' folgenden Lösungsansatz bekommen:







laut p/q-Formel ist also


Ich weiß, dass ich jetzt eine von den z-Lösungen nehmen muss und wieder nach x auflösen...aber welche und warum? Das muss ja eigentlich der Ansatz für die Umkehrfunktion sein, weil hinsichtlich der Monotonie weiß ich, dass ich die 1. Ableitung bilden und die gleich 0 setzen muss.

Also:



.
.
.
Ich bin grad völlig konfus und weiß nicht, was der Lösungsansatz ganz oben mit all dem zu tun hat. Weil man für die Umkehrfunktion ja eigentlich x und y vertauschen muss...oder? Hilfe! Bitte...


[edit: Ich seh grade, dass das wohl eher nicht in die Hochschulmathematik gehört...]
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist alles ziemlich umständlich, denn du weisst ja schon, dass die Ableitung für alle reellen x positiv ist (die e-Funktion ist für alle reellen x positiv), also ist die Funktion streng monoton wachsend.
Anmerkung: Die Funktion heißt sinh(x), ihre Ableitung cosh(x). Sprich "Sinus hyperbolicus" , "Cosinus hyperbolicus".
 
 
Nubler Auf diesen Beitrag antworten »

was is dein p und was dein q in der pq-formel?

wegen der monotonie: hat erst mal nix mir der umkehrbarkeit zu tun.
du kannst hier über die ableitung argumentieren, aber besser ist, wenn du sie direkt nachrechnest:
für ein beliebiges muss, wenn die funktion monoton steigend sein soll, eine wahre aussage sein (warum?).

wobei hier sogar die strenge monotonie zeigen kannst.
RatlosesDing Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Nubler
was is dein p und was dein q in der pq-formel?


p=-2 und q=-1

(ich bin so doof, sorry)

also x1= 4 und x2=2

Zitat:
Original von Nubler
wegen der monotonie: hat erst mal nix mir der umkehrbarkeit zu tun.
du kannst hier über die ableitung argumentieren, aber besser ist, wenn du sie direkt nachrechnest:
für ein beliebiges muss, wenn die funktion monoton steigend sein soll, eine wahre aussage sein (warum?).

wobei hier sogar die strenge monotonie zeigen kannst.


muss -für eine monoton wachsende Funktion- eine wahre Aussage ergeben, weil sich monoton wachsend daraus ergibt, dass x+1 größer oder gleich x ist. Ist x+1 zudem immer größer als x so ist die Funktion streng monoton wachsend, richtig?

Ich muss also nachweisen, dass , wenn ich das richtig verstanden hab?!

Es reicht wahrscheinlich nicht aus zu schreiben, dass die Funktion streng monoton wachsend ist, da die e-Funktion für alle reellen x positiv ist, wie Elvis geschrieben hat, oder?




Zitat:
Original von Elvis
Anmerkung: Die Funktion heißt sinh(x), ihre Ableitung cosh(x). Sprich "Sinus hyperbolicus" , "Cosinus hyperbolicus".

Danke, das wusste ich nicht.


Dankeschön für eure Bemühungen!
Nubler Auf diesen Beitrag antworten »

wegen den pq:
q is richtig, p nicht, warum?

wegen der monotonie:

schau dir mal genau die definition und dem, was ich geschrieben hab, an.
RatlosesDing Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Nubler
wegen den pq:
q is richtig, p nicht, warum?

Da steh ich grad auf'm Schlauch.

...also q=+1 , weil unter der Wurzel steht und somit q positiv ist.

Zitat:
Original von Nublerwegen der monotonie:

schau dir mal genau die definition und dem, was ich geschrieben hab, an.


Du meintest:

Ich will jetzt nicht raten, aber ich würde meinen, dass sich das 1/2 durch die 2 aufhebt und das +a nur auf der linken Seite zum Tragen kommt. Also:



Wenn das richtig ist würde ich das e^-x auf die rechte Seite bringen:

. Und dann würde ich noch für x verschiedene Werte einsetzen und gucken, ob eine wahre Aussage entsteht.
Nubler Auf diesen Beitrag antworten »

richtig, die 2 is nur dazu da, dass die 1/2 weg ist. ein solcher faktor >0 bewirkt nur irgendwelche streckungen und ändert nicht das monotonieverhalten




was is also p und was q?

monotonie machen wir danach
RatlosesDing Auf diesen Beitrag antworten »

Super, dann hab ich wenigstens schonmal etwas verstanden (:

Achhh, jetzt hab ich erstmal gesehen, dass du nicht meintest dass das q falsch ist sondern das p.
also gut...q ist also ziemlich sicher -1. Und ich würde immernoch meinen, dass das p gleich -2 ist.

Und das sich aus

=4 und =-2 ergibt.


Oder was mache ich falsch?!
Nubler Auf diesen Beitrag antworten »

wie kommst du darauf, dass p=-2 ist?
RatlosesDing Auf diesen Beitrag antworten »

Na weil's so dasteht...
Oder gehört das y mit dazu und p=-2y...dann weiß ich aber nicht wie ich das weiter rechnen soll.

Ich könnte mir noch vorstellen, dass ich, wenn ich dann z1 und z2 durch die p/q-Formel ermittelt habe das z wieder in e^x umwandle und dann nach y umstellen kann. Um die Rechnung vom 1. Post nochmal anzusprechen.
Wäre das richtig?

Danke, dass du so geduldig mit mir bist!
Nubler Auf diesen Beitrag antworten »

türlich gehört des y dazu, wir haben ja ein f(z)

also is p=-2y und q=-1

etz setz des ganze einfach in die lösungsformel ein und vereinfach des soweit wie möglich

du solltest nun 2 mögliche werte für z erhalten.

wie lauten die?

edit:
-welche klassenstufe bist du?
-werd schlafen gehen, werd morgen weitermachen, wenn keiner übernimmt
RatlosesDing Auf diesen Beitrag antworten »





Da würde ich jetzt einfach quadrieren:









Ich trau's mich ja fast nicht zu sagen, aber ich studiere. Hab das mit der Substitution nicht in der Schule gehabt bzw. war ne lange Zeit krank und seh da jetzt irgendwie nicht ganz durch. Ich kann auch nicht mit der Substitution integrieren, aber das ist eine andere Geschichte
Nubler Auf diesen Beitrag antworten »

wieso quadrieren?
(und wenn schon quadrieren, dann wenigstens richtig)

du weisst jetzt, dass ist. wir haben aber auch angesetzt, dass ist. was muss also sein?
RatlosesDing Auf diesen Beitrag antworten »

Quadrieren um die Wurzel wegzubekommen...war mir aber fast klar, dass ich das falsch gemacht habe, die Aufgabe mach mich echt wahnsinnig.

also gut:




Nur mal rein theoretisch, bevor ich wieder ganz viel Zeit in falsche Rechnungen stecke:
Ich löse die Gleichung nach y auf, vertausche x und y und stelle dann nach x um, damit ich die Umkehrfunktion bekomme.

Für die Monotonie nehme ich die gleiche Gleichung, stelle nach y um und schaue, ob f(x) > f(x+a) eine wahre Aussage ergibt, ist das der Fall ist die Fkt. monoton wachsend bzw. sogar streng monoton wachsend.

Von der Theorie her richtig oder gibt es Mängel?
Nubler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RatlosesDing
Quadrieren um die Wurzel wegzubekommen...war mir aber fast klar, dass ich das falsch gemacht habe, die Aufgabe mach mich echt wahnsinnig.

also gut:




Nur mal rein theoretisch, bevor ich wieder ganz viel Zeit in falsche Rechnungen stecke:
Ich löse die Gleichung nach y auf, vertausche x und y und stelle dann nach x um, damit ich die Umkehrfunktion bekomme.


erst mal nachdenken

wir haben ja zwei lösungen für z:

(*)
bzw:
(**)

da die funktion aber umkehrbar ist, kann nur eins davon passen.
du weisst, dass ist (ersetzung)

was kannst du somit über die werte sagen, die z annehmen kann?
ist es demnach (*) oder (**), die die richtige funktion z beschreibt?

wegen der monotonie: des machen wir, wenn du die richtige umkehrfunktion hast
RatlosesDingOhnePW Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, dass die (*) die Richtige ist, da bei (**) durch das Quadrieren der Wurzel das y^2 wegfallen würde.

(e^x)^2 = 2y^2 +1

Ich führe das mal morgen weiter, da ich im Moment den Formeleditor nicht verwenden kann.
Wenn es total in die falsche Richtung geht gib mir bitte kurz bescheid.
Nubler Auf diesen Beitrag antworten »

richtig geraten, es ist (*)

entscheident ist aber, dass ist

(*) spuckt nur positive werte für z aus, (**) nur negative, warum ist das hier entscheident?

du weisst also:




wenn du jetzt noch x und y vertauscht, haste die umkehrfunktion.

nebenbei:




zur monotonie:
was bedeutet es, dass eine funktion streng monoton steigt?
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