Bestimmung globaler Extrema

23.07.2011, 18:27

Fetterchefkoch

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Bestimmung globaler Extrema

Meine Frage:
Hallo zusammen smile

smile

,
ich hab mal wieder Mühe mit einer Mathe Aufgabe.
Aufgabe:
Bestimme die globalen Extrema der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y)=x^2+x+y^4+\frac{2}{3}y^3 \end{eqnarray*}$ im Bereich $\begin{eqnarray*} \Omega=\{(x,y):x^2+y^4\leq2\} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Die Lösung weiss ich eigentlich schon (da ich in der ML nachgeschaut habe) aber ich komm beim Rechenweg nicht weiter. Ich mach einfach mal bis wohin ich gekommen bin.

1. Punkte im Inneren bestimmen
Matrix aufstelle bei der ich oben x und unten y ableite: $\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{c}2x+1\\4y^3+2y^2\end{array}\right)=0 \end{eqnarray*}$ . Um x ist also $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und y ist dann 0 oder $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\,P_1(-\frac{1}{2},0);\,P_2(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

2. Rand, nicht reguläre Punkte (hier schon das erste Problem)
Sie haben die Matrix $\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{c}2x\\2y\end{array}\right)=0 \end{eqnarray*}$ . Ich habe kein Ahnung woher diese Überlegung kommt. währe froh wenn mir da jemand helfen könnte. Der Punkt wäre dann (0,0) der aber sowieso nicht auf dem Rand ist.

3. Rand, reguläre Punkte
Hier werden 3 Gleichungen miteinander verglichen und zwar $\begin{eqnarray*} 2x+1=\lambda2x,\,4y^3+2y^2=\lambda4y^3,\,x^2+y^4-2=0 \end{eqnarray*}$ . Als erstes habe ich die 1. & 2. Gleichung nach x, bzw. y aufgelöst was mir $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{2\lambda-2},\,y=0,\, y=\frac{1}{2\lambda-2} \end{eqnarray*}$ gibt.

Als nächstes habe ich in Gleichung 3 eingesetzt und eine Fallunterscheidung gemacht:
3.a) ( $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{2\lambda-2}\,\&\,y=0 \end{eqnarray*}$ )
$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{2\lambda-2})^2-2=0\Rightarrow\frac{1}{2\lambda-2}=\pm\sqrt{2} \end{eqnarray*}$
Also habe ich 2 weitere Punkte gefunden: $\begin{eqnarray*} P_3(\sqrt{2},0),\,P_4(-\sqrt{2},0) \end{eqnarray*}$ .

3.b) ( $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{2\lambda-2}\,\&\,y=\frac{1}{2\lambda-2} \end{eqnarray*}$ )
Hier hatte ich wieder Probleme und zwar wusste ich nicht ob ich hier auf Lambda umformen muss und dann Lambda einsetzen (was ich auch eigentlich probiert habe). Leider bin ich auf diesem Weg auf keinen grünen Zweig gekommen.
Gibts da irgend nen Trick den ich nicht kenne (vergessen habe) den ich anwenden kann.

Hoffe es ist irgendwie verständlich was ich alles gemacht habe :P. Ich bedanke mich natürlich schon mal im voraus smile

smile

.

23.07.2011, 20:32

tigerbine

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RE: Bestimmung globaler Extrema
$\begin{eqnarray*} f(x,y)=x^2+x+y^4+\frac{2}{3}y^3 \end{eqnarray*}$ unter der Nebenbedingung $\begin{eqnarray*} g(x,y)=:x^2+y^4-2 \leq0 \end{eqnarray*}$

Erfahrener Blick verrät einem gleich die Gestalt der zulässigen Menge. [Artikel] Optimierung mit Lagrange und Karush-Kuhn-Tucker

So und ab da ist mir das alles viel zu unsauber, was du da notierst. Sicherlich kann man für innere Punkte sich auf die Bedingungen für unrestringierte Probleme [Gradient, Hessematrix] konzentrieren und schaut dann eben, ob die Lösungen dieser Ansätze im zulässigen Bereich liegen. Da sollte man dann aber schon schreiben

$\begin{eqnarray*} \nabla f(x,y) \stackrel != 0 \end{eqnarray*}$ führt auf $\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{c}2x+1\\4y^3+2y^2\end{array}\right)=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Nur eine 0 ist da in meinen Augen nicht zulässig, wenn man links nun auch konkret in der Dimension geworden ist.

Was mir nun fehlt, ist der Test, was die ermittelten Punkte denn nun sind... lok. Min, lok. Max, Sattelpunkt?

Dabei stoße ich auf eine pos. definite [zu (-0.5|-0.5), f=-.2708333333] und eine pos semidefinite Matrix [zu (-0.5,0)], für die man also weitere Untersuchungen anstellen muss. Lässt man die x-Komponente fest und nähert sich dem Punkt auf einer Geraden mit negativen y-Werten, so haben, so gilt ab -2/3<y<0, dass f in diesen Punkten kleinere Funktionswerte hat als in (-0.5,0). Somit kann es sich dort um kein Minimum handeln. Maximum ist eh ausgeschlossen. Plot zu den Funktionswerten auf der Geraden. x-Fest, x im plot ist y im Beispiel.

---------------------------------------

Zitat:

2. Rand, nicht reguläre Punkte (hier schon das erste Problem)
Sie haben die Matrix $\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{c}2x\\2y\end{array}\right)=0 \end{eqnarray*}$

Und hier verstehe ich kein Wort. Was machst du da?

____________________________

Es sind hier nun KKT-Punkte zu suchen. Die sind auf Minima ausgelegt. Daher fangen wir damit an.

$\begin{eqnarray*} \nabla L(x,y,\lambda) = \left(\begin{array}{c}2x+1\\4y^3+2y^2\end{array}\right) + \lambda \left(\begin{array}{c}2x\\4y^3\end{array}\right) \stackrel ! = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ferner müssen die Punkte zulässig sein, der Komplementaritätsbedingung genügen und für den Multiplikator gilt $\begin{eqnarray*} \lambda \geq 0 \end{eqnarray*}$ . Führt auf die Gleichungen

$\begin{eqnarray*} 2x+1+2x\lambda=0 \Leftrightarrow 2x(1+\lambda) +1 =0 \Leftrightarrow x(1+\lambda) = -0.5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4y^3+2y^2+4y^3\lambda=0 \Leftrightarrow 4y^3(1+\lambda) +2y^2 =0 \Leftrightarrow y^2(2y(1+\lambda) +1) =0 \end{eqnarray*}$

Dabei bekommt man z.B. y=0 also Lösung der zweiten Gleichung, jedoch am Ende keinen gütigen Multiplikator. Sei also y ungleich 0. [Das sichert die Gültigkeit der LICQ in einem der zu erhaltenden Punkte] und die Bedingung

$\begin{eqnarray*} y(1+\lambda) =-0.5 \end{eqnarray*}$

Und somit muss gelten $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x,y<0 \end{eqnarray*}$ . Das führt auf $\begin{eqnarray*} x^2+x^4-2=(x^2-1)(x^2+2)=(x+1)(x-1)(x^2+2) \end{eqnarray*}$

Und somit finden wir keinen Multiplikator. Es gibt also keinen Punkt auf dem Rand, der die notwendigen Bedingungen für ein lok. Minimum erfüllt.

25.07.2011, 22:24

Fetterchefkoch

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Als erstes wollte ich mich für die Antwort bedanken und hätte dann noch ein paar Fragen zu dem was du geschrieben hast.

Zitat:

So und ab da ist mir das alles viel zu unsauber, was du da notierst.

Point taken!

Ich habe grosse Teile die ich hier niedergeschrieben habe aus der Musterlösung der Aufgabe kopiert. Aber der Ansatz mit Lagrange gefällt mir deutlich besser. Jedoch habe ich das KKT noch überhaupt nicht kapiert. Aber jetzt zuerst mal zu anderen Sachen.

1. Hast du mir mit dem letzten Teil die ganze Aufgabe gelöst oder brauche ich den ersten Teil den ich gemacht habe?

2.

Zitat:

Zitat:

2. Rand, nicht reguläre Punkte (hier schon das erste Problem) Sie haben die Matrix $\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{c}2x\\2y\end{array}\right)=0 \end{eqnarray*}$

Und hier verstehe ich kein Wort. Was machst du da?

das habe ich eben auch nicht verstanden. Keine Ahnung was das soll aber wenn ich nen anderen Weg nehmen kann um so besser.

3. Der Test zur Ermittlung des Punktes habe ich glaube ich auch nicht ganz verstanden. Also mir ist klar, dass der Punkt (-0.5|-0.5), f=-.270... ist, der Punkt (-0.5|0) ist -0.25. Wieso genau muss ich jetzt weitere Untersuchungen anstellen?

4. Was meinst du mit "Multiplikator"? Wie sehe ich, was ein Multiplikator ist? Hat das KKT mit den Multiplikatoren zu tun?

Die Lagrange Multiplikation konnte ich nachvollziehen. Also keine Fragen da.
Danke nochmals für die ausführliche Antwort. smile

smile

25.07.2011, 22:35

tigerbine

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Zitat:

Bestimme die globalen Extrema der Funktion

Ich habe nur Minima untersucht, also bestimmt nicht die ganze Aufgabe gemacht. Ferner nur den Weg angedeutet, für eine Abgabe musst du das schon ausführlicher aufschreiben.

Zitat:

3. Der Test zur Ermittlung des Punktes habe ich glaube ich auch nicht ganz verstanden. Also mir ist klar, dass der Punkt (-0.5|-0.5), f=-.270... ist, der Punkt (-0.5|0) ist -0.25. Wieso genau muss ich jetzt weitere Untersuchungen anstellen?

Weil man in dem Arbeitsschritt doch nur innere Punkte untersucht hat. Was ist bei (unrestringierten) Aufgaben notwendig/hinreichend für ein Min/max?

Zitat:

4. Was meinst du mit "Multiplikator"? Wie sehe ich, was ein Multiplikator ist? Hat das KKT mit den Multiplikatoren zu tun?

Hierzu bitte mal die Vokabeln zum Thema: Lagrangefunktion und KKT-Punkt selbst nachlesen. $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ist hier der Multiplikator und wir brauchen nun ja hinreichend/notwendige Bedingungen für restringierte Probleme [mit Nebenbedingung]. Die ist hier

25.07.2011, 23:02

Fetterchefkoch

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Den Artikel zu Lagrange von dir habe ich schon durchgelesen. Muss wohl überlesen haben, dass du die Lambdas als Multiplikatoren bezeichnet hast aber es macht jetzt gleich wieder mehr Sinn.

Ich werd dann mal noch ein bisschen probieren und falls ich wieder auf ein Problem stosse werde ich wohl oder übel wieder Fragen müssen.

Aber wie man weiss, ohne Fleiss kein Preis :P

25.07.2011, 23:04

tigerbine

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Ich meinte damit eher, mal ein Lehrbuch zu dem Thema zu bemühen. Im [Artikel] schlachten wir das Wissen ja nur aus.

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25.07.2011, 23:08

Fetterchefkoch

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Kannst du mir da grad eins empfehlen? Wir haben nur ein Skript in dem (wie mir scheint) alles mit Hieroglyphen geschrieben ist smile

smile

.

25.07.2011, 23:10

tigerbine

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25.07.2011, 23:50

Fetterchefkoch

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Danke für den Link smile

smile

. Leider hast du mir nur noch mehr Hieroglyphen geschickt. Jedoch hab ich mir dieses Beispiel nochmals angeschaut und bin nochmals auf ein paar Fragen gestossen:

1.

Zitat:

Dabei bekommt man z.B. y=0 also Lösung der zweiten Gleichung

. Ich habe auch erhalten, dass y=0 ist. Jedoch habe ich dann in die Nebenbedingung eingesetzt. Also käme heraus: $\begin{eqnarray*} x^2-2=0 \end{eqnarray*}$ . x hat jetzt also 2 werte nämlich $\begin{eqnarray*} \pm\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ . Also habe ich 2 weitere Punkte $\begin{eqnarray*} (\pm\sqrt{2}|0) \end{eqnarray*}$ die ich überprüfen muss ob sie mögliche min/max Werte sind. oder?

2. Zudem habe ich auch noch den 2. Tipp von dir benutzt und zwar $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x,y<0 \end{eqnarray*}$ . Das führt auf $\begin{eqnarray*} x^2+x^4-2=(x^2-1)(x^2+2)=(x+1)(x-1)(x^2+2) \end{eqnarray*}$ . Hier habe ich 6 weiter Punkte die ich überprüfen muss: 1. $\begin{eqnarray*} (-1,-1) \end{eqnarray*}$ , 2. $\begin{eqnarray*} (1,1) \end{eqnarray*}$ 3. - 6. $\begin{eqnarray*} (\pm i\sqrt{2},\pm i\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ (sind die Punkte überhaupt interessant die in $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ )

3.

Zitat:

Was ist bei (unrestringierten) Aufgaben notwendig/hinreichend für ein Min/max?

Die notwendige Bedingung ist, dass die 1. Ableitung gleich 0 ist. Eine hinreichende wäre, dass die 2te Ableitung ungleich 0 ist. Heisst das jetzt, dass ich jetzt f(x) noch ein 2. mal Ableiten muss und überprüfen, ob die Punkte min/max Punkte sind?

Fetter smile

smile

25.07.2011, 23:53

tigerbine

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Zitat:

Dabei bekommt man z.B. y=0 also Lösung der zweiten Gleichung, jedoch am Ende keinen gültigen Multiplikator.

Wie lautet der Multiplikator? Ist er positiv?

25.07.2011, 23:56

Fetterchefkoch

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Wenn du mich so fragst... Nein.

Bin mir noch am überleggen warum xD

25.07.2011, 23:58

tigerbine

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Warum sollte dir schon klar sein, man bestimmt ihn ja konkret. Aber in dem Fall ist es eben keine Lösung des Problems [nachzulesen in den KKT-Bedingungen].

Ferner suchen wir erst mal nur Minima. Darauf sind die Bedingungen ausgelegt. Maxima findet man auf analoge Weise mir der negativen Zielfunktion -f

26.07.2011, 00:01

Fetterchefkoch

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Zitat:

Original von tigerbine
man bestimmt ihn ja konkret

Ich hab keine Ahnung was du mir mit dieser Aussage sagen willst aber ich glaub das könnt auch dran liegen das es schon so spät ist. Ich meld mich morgen nochmals mit (hoffentlich) besseren Ideen.

Fetter smile

smile

26.07.2011, 00:03

tigerbine

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Damit meine ich: schlag endlich die KKT-Bedingungen nach. Ein KKT-Punkt hat hier die Koordinaten x,y, lambda. Alles konkrete Zahlen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und da kommen wir für y=0 auf kein nichtnegatives lambda => Error.

26.07.2011, 16:06

Fetterchefkoch

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Ich habe mir mal den KKT Algorithmus verinnerlicht und auch noch jegliche Beispiele dazu angeschaut... Was nicht heisst das ichs verstanden habe (was ich übrigens auch nicht muss xD).
Eigentlich muss ich nicht einmal KKT anwenden können (da wirs nicht in unserem Skript haben).

Gibt es eignetlich noch andere Möglichkeiten (ohne KKT) um diese Aufgabe zu lösen. Da ich auch kein Mathe Student bin ist das vielleicht doch etwas zu schwierig für mich. Vor allem wenn ichs in spätestens 2 Wochen 1x Anwenden muss xD.

26.07.2011, 18:14

Huggy

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Man sollte eine Frage nicht mit Dingen befrachten, die der Fragende voraussichtlich nicht kennt und die zur Lösung des Problems nicht erforderlich sind. Für diese Problem ist KKT nicht erforderlich.

Wenn, wie es oben in der Frage steht, nur nach den globalen Extrema gefragt ist, muss man sich nicht darum kümmern, ob irgendwelche Kandidatenpunkte wirklich Extrema sind und was für welche. Es genügt dann, alle Kandidatenpunkte in die Zielfunktion einzusetzen. Der größte Wert ist das globale Maximum, der kleinste Wert das globale Minimum. Da der durch die Nebenbedingung definierte Bereich ein Kompaktum ist und da die Zielfunktion stetig ist, ist gesichert, dass es in dem definierten Bereich ein globales Maximum und Minimum gibt.

Alle Kandidatenpunkte für Extrema hast du inzwischen gefunden. Die brauchst du also nur in die Zielfunktion einzusetzen. Nach Art der Aufgabestellung ist nur nach reellen (x, y) gefragt.

26.07.2011, 22:05

Fetterchefkoch

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Vielen Dank für deine Antwort smile

smile

.

Dann kann ich also Lagrange machen wie bisher und dann einfach in die Zielfunktion einsetzen und ausrechnen. Das kann ich noch.

Ich mache sehr gerne Mathe aber das heisst nicht das ich sehr gut darin bin. Jedoch lerne ich immer gerne was neues. Ich werde den KKT bestimmt im Hinterkopf behalten aber glaube nicht das ich den an der Prüfung anwenden werde smile

smile

.

Danke auch dir nochmals tigerbine für deine Geduld smile

smile

27.07.2011, 08:15

Huggy

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Zitat:

Original von Fetterchefkoch
Dann kann ich also Lagrange machen wie bisher und dann einfach in die Zielfunktion einsetzen und ausrechnen. Das kann ich noch.

Ja!
Anders ist die Situation natürlich, wenn auch nach den lokalen Extrema gefragt ist. Dann muss man bei den Kandidatenpunkten aus der Zielfunktion die Hessematrix bemühen und bei den Kandidatenpunkten aus der Lagrangefunktion braucht man Zusatzüberlegungen. Das kann KKT sein, muss aber nicht unbedingt.

27.07.2011, 17:42

tigerbine

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So schlimm sind die ja nun auch nicht, nur weil der Multiplikator eine Vorzeichenbeschränkung bekommt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wundert mich, dass sie in der Theorie so allmächtig verwendet werden, aber in Aufgaben so selten zum Zug kommen... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wollte dich sicher nicht quälen.

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