Dezimalbruchentwicklung

17.12.2006, 21:20

Franzi1986

Dezimalbruchentwicklung

...also ich bin mir bei dieser aufgabe nicht sicher, ob die Lösung richtig ist...ich denke eigentlich nicht...ich zeige sie euch mal:

Aufgabe:

Sei k Element von den natürlichen Zahlen. Zeigen Sie, dass

$\begin{eqnarray*} 1/(10^k+1) \end{eqnarray*}$

eine dezimalbruchentwicklung mit Periode 2k besitzt.

Meine Lösung:

Erstmal:

$\begin{eqnarray*} 10^2k \equiv 1mod10^k+1 \end{eqnarray*}$

Dann mit Induktion:

I.A. :
z
k=1

$\begin{eqnarray*} 10^2 \equiv 1mod10^1+1 \Rightarrow 100 \equiv 1mod10+1\Rightarrow 100\equiv 1mod11 \end{eqnarray*}$

und daraus folgt:

100 : 11 = 9 Rest 1

also:

$\begin{eqnarray*} 100\equiv 1mod11 \end{eqnarray*}$

also richtig!

I.V. :

$\begin{eqnarray*} 10^2k \equiv 1mod10^k +1 \end{eqnarray*}$

sei wahr!

I.S. :

k-->k+1

zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} 10^{2(k+1)} \equiv 1mod10^{k+1} +1 \end{eqnarray*}$

also:
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 10^{2k+2}\equiv 1mod 10^{k+1} +1\Rightarrow 10^2k * 10^2\equiv 1mod 10^k*10^1 +1\Rightarrow nach I.V.: (1mod10^k + 1)*10^2\equiv 1mod 10^{k+1}+1\Rightarrow 1 mod 10^{k+2}+10^2\equiv 1 mod 10^{k+1} + 1\Rightarrow 0mod10^{k+2} +100\equiv 0mod 10^{k+1} +1 usw. \end{eqnarray*}$

aber der I.S. kann doch nicht stimmen, was habe ich falsch gemacht?

lg

17.12.2006, 21:24

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Du willst $\begin{eqnarray*} 10^{2k} \equiv 1 \mod (10^k+1) \end{eqnarray*}$ nachweisen? Über Induktion?

Der Weg

$\begin{eqnarray*} 10^{2k}-1 = (10^k+1)(10^k-1) \end{eqnarray*}$

ist da aber wesentlich effektiver.

17.12.2006, 21:45

Franzi1986

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Da muss ich dir recht geben...ich habe mir wohl etwas umständlich gemacht oder...ich versuche es nochmal so...aber wie entsteht auf der rechten Seite $\begin{eqnarray*} 10^k-1 \end{eqnarray*}$ ...auf der linken Seite -1 ist ja klar, aber die rechte Seite verstehe ich nicht...stehe ich auf dem Scthlauch?

lg

ssorry, das ist eine binomische formel oder?

17.12.2006, 21:51

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Zitat:

Original von Franzi1986
ssorry, das ist eine binomische formel oder?

Ja: $\begin{eqnarray*} a^2-1 = (a+1)(a-1) \end{eqnarray*}$

17.12.2006, 21:54

Franzi1986

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ok...dann ist das klar...muss ich dann nicht unterscheiden zwischen k=1 und k+1...einfach nur das auflösen? reicht das?

lg

17.12.2006, 21:58

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Was "auflösen" ? Reichen wofür ? Du sprichst in Rätseln.

17.12.2006, 22:02

Franzi1986

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also bei der induktion zeige ich ja, dass $\begin{eqnarray*} 10^{2k} \end{eqnarray*}$ usw. für k=1 und frür k+1 stimmt...und, wenn ich die binomische formel verwende, muss ich dann auch eine Fallunterscheidung machen...oder reicht es zu zeigen, dass die gleichung stimmt und dies für alle k gilt?
Ich hoffe, dass das verständlich war smile

17.12.2006, 22:05

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Die binomische Formel $\begin{eqnarray*} a^2-1=(a-1)(a+1) \end{eqnarray*}$ gilt für alle reellen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , ohne wenn und aber . das sollte dir doch bekannt sein. Also auch für $\begin{eqnarray*} a=10^k \end{eqnarray*}$ .

17.12.2006, 22:08

Franzi1986

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ok, dass das nach Definition gilt, wusste ich schon, aber ich wollte nochmal sicher gehen...da mir in meinem Tutorium gesagt wurde, dass man das durch Induktion lösen muss...also Entschuldigung smile

Danke für deine Hilfe...lg

PS: und ich meinte auch nicht die binomische formel...aber das ist jetzt egal smile

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