ONB bestimmen

23.07.2011, 20:53

Ilja Rogoff

ONB bestimmen

Hi, ich muss eine ONB bestimmen. Gegeben ist ist eine Matrix $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & -i \\ i & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f: (x,y) \to <x,y>_A \end{eqnarray*}$

Als Anfangsvektoren nehme ich die Standardbasisvektoren (1 0) und (0 1). Nun benutze ich das Gram-Schmidt-Verfahren.

Also Ergebnis habe ich ausgerechnet: $\begin{eqnarray*} B=( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \frac{1}{\sqrt{5}}*\begin{pmatrix} -i \\ 1 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$

Kann mir wer sagen, ob das richtig ist oder wie kann ich das überprüfen?

24.07.2011, 00:06

wdposchmann

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RE: ONB bestimmen
Hi,

für diese Aufgabe ist es wichtig zu wissen, wie das Skalarprodukt definiert ist. Ich gehe aber mal davon aus, dass es das Standard SP der komplexen Zahlen ist. Von daher meine erste Frage / erster Hinweis:

Zitat:

Als Anfangsvektoren nehme ich die Standardbasisvektoren (1 0) und (0 1).

Du sollst eine ONB zu den Vektoren der Matrix A bestimmen. Also musst du $\begin{eqnarray*} w_1=\begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w_2=\begin{pmatrix} -i \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wählen und das Standard SP ist in dem Fall definiert als $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^2 w_{1k}\overline{w_{2k}} \end{eqnarray*}$ (Schau aber lieber mal bei euch im Skript nach, oft ist es auch so definiert, dass das erste Argument komplex konjungiert ist. Dann müsstest du die Vektoren im Gram-Schmidt-Verfahren anders platzieren. Das sollte dann aber auch im Skript stehen).

Rechne das dann mal durch. Ob eine ONB vorliegt, kannst du dann dadurch überprüfen, ob die Vektoren bezüglich des definierten SP Null ergeben (Was sie bei deiner Ergebnis-Basis B z.B. nicht tun). Wenn du noch Fragen hast, einfach fragen.

LG

24.07.2011, 07:19

Ilja Rogoff

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Also das Skalarprodukt ist bei uns folgendes $\begin{eqnarray*} <x,y>_A = x^**A*y \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} x^* \end{eqnarray*}$ das komplex konjugierte beschreibt.
Warum darf ich nicht die Standardbasisvektoren nehmen, sondern muss die Matrixspalten benutzen?

24.07.2011, 10:09

jester.

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Die Matrixspalten zu nehmen ist hier nicht hilfreich. Entweder man beginnt mit irgendeiner Basis und führt dann das Gram-Schmidt-Verfahren mit dem durch die Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ gegebenen Skalarprodukt durch, oder man verwendet beispielsweise das Verfahren aus meiner Signatur und arbeitet direkt an der Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ .
Es ist dann nur das Konjugieren, welches man für ein komplexes Skalarprodukt benötigt, an geeigneter Stelle unterzubringen.

24.07.2011, 10:37

Ilja Rogoff

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Ich habe nun als Basis die Vektoren (1,0) und (i,1) erhalten.

Das Skalarprodukt <(1,0),(i,1)>_A ergibt auch Null, ist es eine Garantie, dass ich mich nicht verrechnet habe?

24.07.2011, 10:47

jester.

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Zitat:

Original von Ilja Rogoff
Das Skalarprodukt <(1,0),(i,1)>_A ergibt auch Null, ist es eine Garantie, dass ich mich nicht verrechnet habe?

Fast, zu überprüfen wäre noch $\begin{eqnarray*} \langle \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rangle_A=1, ~ \langle \begin{pmatrix} i \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} i \\ 1 \end{pmatrix} \rangle_A=1 \end{eqnarray*}$ .

Man kann dies alles in einem überprüfen, indem man die Matrix $\begin{eqnarray*} S:=\begin{pmatrix} 1 & i \\ 0&1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ definiert und $\begin{eqnarray*} S^* AS \end{eqnarray*}$ berechnet. Falls die Einheitsmatrix herauskommt, ist alles richtig.

24.07.2011, 10:56

Ilja Rogoff

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Ok, danke. Rechnungen stimmen alle =)

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