Endliche Gruppe (Satz von Lagrange)

24.07.2011, 08:48

natural

Endliche Gruppe (Satz von Lagrange)

Hallo Zusammen Wink

ich habe eine kurze Frage zum Satz von Lagrange.
Aber erst der Satz und dann die Frage!

Satz.
Sei G eine eine endliche Gruppe $\begin{eqnarray*} U\leq G \end{eqnarray*}$ . Dann gilt
$\begin{eqnarray*} | G|= | U|\cdot | J| \end{eqnarray*}$ ,

wobei U eine Untergruppe ist und | J| die Anzahl der Nebenklassen von U in G ist.

Insbesondere ist | U| eine Teiler von | G|.

Frage:
Als Bemerkung steht darunter:
Die volle Umkehrung des Satzes von Lagrange gilt nicht. Es gibt zum Beispiel eine Gruppe mit
| G|=12, die keine Untergruppe U mit | U|=6 enthält.
Ich verstehe das Beispiel nicht so ganz. Wieso solle es nicht eine Gruppe mit
| G|=12 geben, die Untergruppe U mit | U|=6 enthält ?
Weiterhin ist | U| eine Teiler von | G|, wodurch sich doch ergeben sollte das die Anzahl der Nebenklassen von U in G gleich 2 ist. Was soll daran verkehrt sein ?
Mag sein das mir der Satz auch in voller Breite nicht einleuchtet verwirrt

Vielleicht kann einer von euch mir unter den Armen greifen und für mich etwas Licht im Dunkeln bringen!

mfg
natural smile

24.07.2011, 09:58

jester.

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Hallo,

der Satz sagt zunächst mal folgendes. Gegeben eine Gruppe $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ von Ordnung $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mit einer Untergruppe $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ von Ordnung $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} k\mid n \end{eqnarray*}$ .
Der Satz sagt jedoch nichts darüber aus, dass für jeden Teiler der Gruppenordnung auch eine solche Untergruppe existiert.
Und so stellt sich dann in der Tat heraus, dass es eine Gruppe der Ordnung 12 gibt, die keine Untergruppe der Ordnung $\begin{eqnarray*} 6 \end{eqnarray*}$ hat. Diese Gruppe heißt $\begin{eqnarray*} A_4 \end{eqnarray*}$ Link1 Link2

Jedoch ist diese Aussage wiederum nicht allgemeingültig, denn es gibt auch eine Gruppe der Ordnung 12, die eine solche Untergruppe von Ordnung 6 enthält. Diese Gruppe ist die zyklische Gruppe von Ordnung 12. Link

Edit: Fehler korrigiert. Danke @manus.

24.07.2011, 12:59

Manus

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Zitat:

Original von jester.
Hallo,

der Satz sagt zunächst mal folgendes. Gegeben eine Gruppe $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ von Ordnung $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mit einer Untergruppe $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ von Ordnung $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} n\mid k \end{eqnarray*}$ .

Das sollte eher $\begin{eqnarray*} k \mid n \end{eqnarray*}$ heißen.

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