Finite-Differenzen-Verfahren

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naro2030 Auf diesen Beitrag antworten »
Finite-Differenzen-Verfahren
Meine Frage:
Ich muss y''=e^{x} cos(x) lösen mit y(0)=-1 und y(pi)=1
unter Verwendung des Finiten-Differenzen-Verfahren und das Ergebnis dann in einer Matrix darstellen!
Kann mir jemand bitte helfen?! Lieben Dank

Meine Ideen:
Muss ich jetzt e^(x) cox(x) mit auf die linke Seite bringen? Ich weiß einfach keinen Ansatz!
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Also zuerst mal bleib der Term auf der rechten Seite der Gleichung. Das ist auch nachher die rechte Seite deines Gleichungssystems, denn der Term hängt nur von x und nicht von der Funktion y ab.

Bei den finiten Differenzen geht es nun darum, die Ableitung, in diesem Fall hier also die zweite Ableitung von y, durch eben jene zu ersetzen.

Das heißt, du diskretisierst zunächst mal einen Bereich und berechnest dann an jedem Gitterpunkt die finite Differenz.

Wie würde denn die finite Differenz für aussehen?
 
 
naro2030 Auf diesen Beitrag antworten »

ich weiß jetzt nicht, ob ich dich richtig verstanden habe:

y''=\frac{y_{i+1}-2_{yi}+y_{i-1} }{h²}

y''= (yi+1 - 2yi + yi-1) / h²

yi+1 - 2yi + yi-1 = e^x cosx h²
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:



Ja genau das meine ich.

Zitat:



Ja auch das stimmt. Allerdings nur so lange du eine äquidistante Aufteilung gewählt hast. Sonst muss das im Nenner bleiben.

Daraus kannst du nun ein Gleichungssystem aufstellen, welches du lösen kannst und somit die approximierte Funktion erhältst.
naro2030 Auf diesen Beitrag antworten »

ok. jetzt kommt der teil wo ich mir sehr unsicher bin:

y0 = -1

y1 = y0 - 2y1 + y2 + y1*h² = e^1 cos1 h²

ypi = ????

ist y1 so richtig? bzw. für y(pi) wüsste ich garnicht wie ich die gleichung aufstelle.... verwirrt
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Also . Das hast du doch als Randbedingung und das steht so in deinem Eröffnungsbeidtrag.

Das Gleichungssystem sieht jetzt so aus:




Wobei und
naro2030 Auf diesen Beitrag antworten »

ok. versteh nicht alles: warum setzt du jetzt e in abhängigkeit von h? oder kann ich auch einfach x stehen lassen? und woher weißt du das y0 = y(0) ist? sorry, dass ich mich so schwer stelle....
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Also nochmal von vorne.

Du hast den Interval . Diesen Unterteilst du nun in äquidistante Stücke der länge .
Also



Und nun definieren wir uns als den Wert, den unsere approximierte Lösung an dem Punkt annimmt. Somit gilt etc.

Dann haben wir an jeden Knotenpunkt i mit wie schon oben besprochen die Differenz



Da nun aber die ursprüngliche Differentialgleichung



gilt, können wir annehmen, dass unsere approximierte Ableitung an jeder Stelle i ebenfalls den Wert der rechten Seite annimmt.
Also

naro2030 Auf diesen Beitrag antworten »

mh ok - jetzt hab ich es glaub ich verstanden. wenn ich das jetzt in eine Matrix darstellen möchte, habe ich eine matrix mit 3 diagonalen mit werten der rest müsste doch Null sein oder wie sehe sie aus?
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau. Du bekommst eine so genannte Tridiagonalmatrix
naro2030 Auf diesen Beitrag antworten »

ja. genau.
habe keine ahnung wie die für diese Aufgabe aussieht...sorry!
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Das Gleichungssystem steht doch schon in meinem Post oben.

Du musst aus dem Vektor auf der linken Seite nur noch eine Matrix machen.

Du erhältst ein Gleichungssystem von der Form



Wobei b der Vektor mit den Einträgen ist.
naro2030 Auf diesen Beitrag antworten »

ja, das ist mir klar. wie ich das in die Matrix umsetze weiß ich dann aber nicht, bzw. wie ich das darstelle
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Wie würdest du denn zB



in der Form



darstellen, wobei



ist?
naro2030 Auf diesen Beitrag antworten »

keine ahnung
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Dann solltest du vielleicht erstmal die Grundlagen aus der linearen Algebra dir aneignen und dich dann an finite Differenzen wagen.

Denn ich gehe mal davon aus, dass du nicht weißt, wie man Gleichungssysteme der Form



löst?
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