Eindeutigkeit von Äquivalenzklassen

24.07.2011, 13:36

Sc4v

Eindeutigkeit von Äquivalenzklassen

Meine Frage:
Hallo miteinander!

Ich stelle mir gerade die Frage, ob es zu einer gegebenen Äquivalenzrelation R mehrere Herangehensweisen für die Bestimmung ihrer Äquivalenzklassen gibt bzw. ob ihre ÄK eindeutig sind?
Ich will meine Fragestellung an einem Beispiel verdeutlichen:
gegeben: $\begin{eqnarray*} R = \left\{ (x,y) \in \mathbb Z \times \mathbb Z | x² = y² \right\} \end{eqnarray*}$

Frage: Bestimmen Sie alle Äquivalenzklassen von R!

Meine Ideen:
Ich hatte folgenden Ansatz für die Äquivalenzklassen.
$\begin{eqnarray*} Sei a \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left[a\right]_{R} = \left\{ x \in \mathbb Z | (x,a)\right\} = \left\{ -a,a\right\} \end{eqnarray*}$
Also gibt es unendliche viele Äquivalenzklassen. Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \left[1\right]_{R } = \left\{ -1,1\right\} \end{eqnarray*}$

In einer Lösung zur Thematik fand ich jedoch folgendes:
Es gibt 5 Äquvialenzklassen, nämlich:
1) x>0 und y>0
2) x>0 und y<0
3) x<0 und y<0
4) x<0 und y>0
5) x=0 und y=0

Mache ich einen Fehler oder sind etwa beide Ansätze richtig?
Vielen Dank für jegliche Hilfe

24.07.2011, 13:58

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Äquivalenzklassen sind durch eine Äquivalenzrelation $\begin{eqnarray*} R\subset M\times M \end{eqnarray*}$ eindeutig bestimmt, denn es ist $\begin{eqnarray*} [a]:=\{x\in M|x R a\} \end{eqnarray*}$ .
Du hast recht, es gibt genau abzählbar viele Äquivalenzklassen, die "Lösung zur Thematik" ist falsch.

24.07.2011, 14:40

Sc4v

Auf diesen Beitrag antworten »

danke für die schnelle Antwort.
Damit kann ich was anfangen und weiß wo ich dran bin!

lg

24.07.2011, 19:17

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Eindeutigkeit von Äquivalenzklassen

Zitat:

Original von Sc4v
$\begin{eqnarray*} \left[a\right]_{R} = \left\{ x \in \mathbb Z | (x,a)\right\} = \left\{ -a,a\right\} \end{eqnarray*}$

Hier müsste $\begin{eqnarray*} \left[a\right]_{R} = \left\{ x \in \mathbb Z \colon (x,a) \in R^2 \right\} = \left\{ x \in \mathbb Z \colon x^2 = a^2 \right\} =\left\{ -a,a\right\} \end{eqnarray*}$ stehen.

Neue Frage »

Antworten »

Eindeutigkeit von Äquivalenzklassen

Verwandte Themen