Zentrale Dichte einer Kugel mit linearem Dichteverlauf

24.07.2011, 18:37

JonBosques

Zentrale Dichte einer Kugel mit linearem Dichteverlauf

Meine Frage:
Hallo zusammen.

Ich habe ein auf den ersten Blick einfaches mathematisches Problem, für das ich keine einfache Lösung finde:

Aufgabe: Eine Kugel mit Radius 1 und Masse 1 (Volumen ergibt sich leicht, Einheiten sind irrelevant, durchschnittlicheDichte errechenbar) hat an ihrer Oberfläche die Dichte 0. Nach innen verläuft die Dichte linear ansteigend. Wie groß muss die zentrale Dichte sein?

Meine Ideen:
Ich hab verschiedene Wege versucht, unter anderem probieren mit Hilfe eines Computers. Es ergibts sich: zentraleDichte = 4 * durchschnittlicheDichte.

Nur: Warum?

Meine Ansätze das Ganze über eine Anzahl von n gleich dicken Kugelschalen zu rechnen und dann n gegen unendlich gehen zu lassen liefert kein Ergebnis. Die Lösung hab ich "errechnet", nur wenn das Problem auf nichtlineare Verläufe ausgedehnt wird (auch hier ist Raten mit Computer möglich, jedoch extrem unelegant) brauche ich eine mathematische Herangehensweise.

24.07.2011, 19:13

DmitriJakov

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RE: Zentrale Dichte einer Kugel mit linearem Dichteverlauf
Vielleicht hilft das weiter:

Das Volumen einer Kugel ist das Integral seine Oberfläche entlang des Radius:

$\begin{eqnarray*} O=4*\pi*r^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V=\int_0^r \! O(r) \, dr \end{eqnarray*}$

Die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} O(r)=4*\pi*r^2 \end{eqnarray*}$ ist:
$\begin{eqnarray*} 4*\pi*1/3*r^3 \end{eqnarray*}$

Sieht also sehr ähnlich der Volumensformel aus Augenzwinkern

Jetzt musst Du das Integral für die Dichte noch mit einbauen: $\begin{eqnarray*} \rho(r)=-m*r+m \end{eqnarray*}$

m ist dann die gesuchte Dichte im Zentrum ... falls ich jetzt hier keinen Denkfehler habe.

24.07.2011, 22:20

Dopap

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RE: Zentrale Dichte einer Kugel mit linearem Dichteverlauf

Zitat:

Original von DmitriJakov

Jetzt musst Du das Integral für die Dichte noch mit einbauen: $\begin{eqnarray*} \rho(r)=-m*r+m \end{eqnarray*}$

m ist dann die gesuchte Dichte im Zentrum ... falls ich jetzt hier keinen Denkfehler habe.

nein, das ist o.k.

Der richtige Ansatz ist wichtig:

$\begin{eqnarray*} \text {mass}=\int _0^1 4\pi r^2\rho (r) =1 \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} \rho (r)= -\rho_0+ r\rho_0 \end{eqnarray*}$

( m ist physikalisch gesehen kein guter Buchstabe )

und daraus folgt für $\begin{eqnarray*} \rho_0=... \end{eqnarray*}$

und daraus folgt für $\begin{eqnarray*} \frac {\rho_0}{\rho_{\text {mittel}}}=4 \end{eqnarray*}$
-----------------------------------------

das Wichtige ist, dass die räumliche ( die normale ) Dichte mit der Oberfläche multipliziert eine lineare Dichte ... mit der Einheit kg/m ergibt.!

Da in Mathe die Einheiten weggelassen werden ( Alles=1) ergeben sich da manchmal Probleme, die aber mittels Dimensionsbetrachtung vermieden werden können.

24.07.2011, 22:59

DmitriJakov

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RE: Zentrale Dichte einer Kugel mit linearem Dichteverlauf
Bist Du sicher mit dem Vorzeichen in der Dichtefunktion?
Sollte das nicht eher heissen:
$\begin{eqnarray*} \rho(r)=\rho_{0}-r\cdot \rho_{0} \end{eqnarray*}$
Denn am Rand der Kugel, also bei r=1, soll dei Dichte ja Null werden.

24.07.2011, 23:16

Dopap

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RE: Zentrale Dichte einer Kugel mit linearem Dichteverlauf

Zitat:

Original von DmitriJakov
Bist Du sicher mit dem Vorzeichen in der Dichtefunktion?
Sollte das nicht eher heissen:
$\begin{eqnarray*} \rho(r)=\rho_{0}-r\cdot \rho_{0} \end{eqnarray*}$
Denn am Rand der Kugel, also bei r=1, soll dei Dichte ja Null werden.

vollkommen richtig.

25.07.2011, 14:06

JonBosques

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Danke
Danke Leute.

Dass das Volumen das Integral der Oberfläche über den Radius ist war der Ansatz (bzw. das Wissen), das mir gefehlt hat. Die Übertragung auf andere Funktionen ist jetzt auch nur ne Kleinigkeiten.

Tausend Dank, ich weiß wohin ich das nächste mal komme wenn ich ein hartnäckiges Problem habe.

Jon

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