Die nichtnegative Inverse einer Matrix

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24.07.2011, 17:20	shrek2011	Auf diesen Beitrag antworten »
Die nichtnegative Inverse einer Matrix Meine Frage: Ich habe folgende Aufgabe: Gegeben ist die Matrix B. $\begin{eqnarray} B= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 30 \\ 4 & 0 & 0 & 20 \\ 2 & 0 & 30 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Zeigen Sie über explizite Berechnung von $\begin{eqnarray} L=(I-B)^{-1} \end{eqnarray}$ , dass diese nichtnegativ ist. Meine Ideen: $\begin{eqnarray} (I-B) \end{eqnarray}$ ist ja $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 & -30 \\ -4 & 0 & 1 & -20 \\ -2 & 0 & -30 & -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , oder? Ich habe jetzt die Inverse davon berechnet, und das Ergebnis habe ich auch mit dem Taschenrechner nachkontrolliert. Das Ergebnis war: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -(613/151) & 1 & -(225/151) & -(15/302) \\ -(6/151) & 0 & 1/151 & -(5/151) \\ -(61/302) & 0 & -(15/302) & -(1/604) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Diese Matrix hat ja auch negative Einträge, also ist sie ja nicht nichtnegativ! Irgendwas muss ich falsch gemacht haben. Die Inverse habe ich richtig berechnet, denn der Taschenrechner hat mir ja das gleiche Ergenbis ausgegeben, aber vielleicht habe ich den Begriff "nichtnegativ" falsch interpretiert? Ich bin jetzt einfach davon ausgegangen, dass eine Matrix nichtnegativ ist, wenn sie nur nichtnegative Einträge hat. Oder ich habe falsch interpretiert, was $\begin{eqnarray} (I-B) \end{eqnarray}$ sein soll? Ich komme einfach nicht auf meinen Fehler, über jede Hilfe wäre ich echt dankbar!
24.07.2011, 17:34	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
L ist in Ordnung. B hat keine Inverse da RANG(B)=3 ist. Die Inverse von L ist richtig. Soweit so gut, leider ist mir der Begriff der Negativität einer Matrix nicht geläufig. ------------------------------------------------------ edit: habe I als Einheitsmatrix gelesen.
24.07.2011, 17:48	shrek2011	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, ich habe I auch als Einheitsmatrix gelesen. Ich werde versuchen mich da nochmal schlau zu machen was "nichtnegativität" einer Matrix heißen soll, trotzdem schonmal vielen vielen Dank fürs Kontrollieren meiner Ergebnisse!
24.07.2011, 18:21	shrek2011	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, ich habe jetzt gefunden was es heißt wenn eine Matrix nichtnegativ ist, das heißt nämlcih, dass sie positiv semidefinit ist. Kann man da das Kriterium anwenden, dass $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ positiv semidefinit ist, wenn die symmetrische Matrix $\begin{eqnarray} L+L^T \end{eqnarray}$ positiv semidefinit ist, d.h. dass alle Eigenwerte $\begin{eqnarray} \geq 0 \end{eqnarray}$ sind. Das habe ich nämlich gerade versucht, aber die Matrix $\begin{eqnarray} L+L^T \end{eqnarray}$ ist noch nicht mal symmetrisch! Als $\begin{eqnarray} L+L^T \end{eqnarray}$ kommt mir nämlich raus: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & -61/151 & -6/151 & -61/302 \\ -613/151 & 2 & -225/151 & -15/302 \\ -6/151 & -225/151 & 2/151 & -25/302 \\ -61/302 & -15/302 & -25/302 & -1/302 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ...was jetzt?
24.07.2011, 19:11	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
es ist wohl besser die Frage mal an Alle zurückzugeben.
24.07.2011, 19:24	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
L + L^T ist immer symmetrisch, wie man sich leicht überlegen kann. Der zweite Eintrag in der ersten Zeile ist vermutlich einfach durch falsches Abschreiben entstanden, wie es bei sovielen Zahlen, vorallem so hässlichen, leicht passieren. Da die Definitheit durch (positive) Skalare nicht geändert wird, könntest du alles 302(L + L^T) betrachten, dann sieht das deutlich sympathischer aus. Zum Rechnen: Was immer geht, wenn bei Grad 4 nicht mehr so toll ist: Charakteristisches Polynom ausrechnen und Eigenwerte explizit bestimmen. Dafür würde ich aber L und nicht den symmetrischen Anteil nehmen, mit Laplace hat man nur noch Grad 3 und das würde ich als machbar bezeichnen. Edit: 2 mal Laplace liefert sogar eine quadratische Restmatrix, damit hat man im Handumdrehen die EW.
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24.07.2011, 20:03	shrek2011	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast Recht, bei $\begin{eqnarray} L + L^T \end{eqnarray}$ habe ich mich verrechnet. Aber kann ich denn einfach so von L die Eigenwerte bestimmen, wenn ich wissen will, ob L positiv semidefinit ist? Gilt dieses Kriterium mit den Eigenwerten nicht nur für symmetrische Matrizen?
24.07.2011, 20:12	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast Recht, war voreilig von mir. Sämtliche Kriterien scheinen nur für symmetrische Matrizen zu gelten. Gültig bleibt, dass du 302(L + L^T) betrachten solltest. Da du die Kriterien kennst, bleibt es noch eine auszusuchen und durchzurechnen - ich fürchte keine wird sonderlich schön.
24.07.2011, 20:18	shrek2011	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann vielen Dank für deine Hilfe! Schön wird's nicht, aber wozu gibt's Taschenrechner... ^^
24.07.2011, 20:39	shrek2011	Auf diesen Beitrag antworten »
Tja... Ich glaube, irgendwas ist immer noch falsch. Ich habe jetzt mal spaßeshalber $\begin{eqnarray} 302(L+L^T) \end{eqnarray}$ in den Rechner für Eigenwerte und Eigenvektoren eingegeben (http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/eigenwert2.htm) und es kam raus, dass die Matrix sowohl positive als auch negative Eigenwerte hat. In der Aufgabe (siehe ganz oben) hieß es doch aber: *"Zeigen Sie über explizite Berechnung von $\begin{eqnarray} L=(I-B)^{-1} \end{eqnarray}$ , dass diese nichtnegativ ist."* Das heißt, irgendwas muss falsch sein! Nur von der Aufgabenstellung klingt das ja so, als müsste ich diese Inverse nur berechnen, und dann sähe ich schon, dass sie nichtnegativ ist, aber ich habe in einem Forum halt gefunden, dass eine Matrix "nichtnegativ" genannt wird, wenn sie positiv semidefinit ist (dass habe ich hier http://www.matheboard.de/archive/394280/thread.html gefunden) und dass sieht man ja i. Allg. nicht auf den ersten Blick. Die Inverse $\begin{eqnarray} L=(I-B)^{-1} \end{eqnarray}$ habe ich richtig berechnet, ich bin jetzt praktisch wieder da wo ich am Anfang war...
24.07.2011, 21:09	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Die nichtnegative Inverse einer Matrix Ich nehme mal an, dass die Aufgabe einen Fehler enthält, denn sowohl B als auch L sind indefinit. B für den Fall, dass die Berechnung von L nur Aufschluss über die Definitheit von B geben sollte.
24.07.2011, 21:38	shrek2011	Auf diesen Beitrag antworten »
Na dann. Vielen Dank dass du dich mit meiner Aufgabe beschäftigt hast.

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