Gruppenhomomorphismen

17.12.2006, 22:47

JayDi

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Gruppenhomomorphismen

Guten Abend.
Ich soll die Frage klären, ob es sich bei den folgenden Abbildungen um Gruppenhomomorphismen handelt:

1) $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z,+)\to(\mathbb Z,+);z \to z+2 \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} (\mathbb C \backslash \{0\},\cdot) \to (\mathbb R \backslash \{0\},\cdot);z \to |z|) \end{eqnarray*}$

Ich verstehe hier nicht, welche Axiome ich überprüfen muss.
(Wikipedia: http://de.wikipedia.org/wiki/Gruppenhomomorphismus)

Muss ich erst einmal prüfen, ob es sich um zwei Gruppen handelt? Oder wie läuft das hier?

Kann man mir mal die Axiome nennen? Oder sonstige Tipps geben?

17.12.2006, 23:02

sqrt(2)

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Wenn $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ die entsprechende Operation ist, musst du nur auf $\begin{eqnarray*} f(x\circ y)=f(x)\circ f(y) \end{eqnarray*}$ überprüfen, das ist schon alles.

17.12.2006, 23:05

Mazze

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Ich denke nicht das Du die Gruppeneigenschaften nachweisen sollst. Du sollst aber zeigen das Deine definierten Abbildungen einen Homomorphismus bilden. Ich nenne Deine erste Abbildung g und Deine zweite h dann soll:

g(a + b) = g(a) + g(b)
$\begin{eqnarray*} h(a \cdot_{\mathbb{C}} b) = h(a) \cdot_{\mathbb{R}}h(b) \end{eqnarray*}$

18.12.2006, 20:19

JayDi

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Und nun lauten mein g und h

g = z \to z+2

h = z \to |z|

Und nun gilt

$\begin{eqnarray*} g(a + b) : g(z_1+z_2) = z_1+2+z_2+2 = g(z_1) + g(z_2) \end{eqnarray*}$

Und für

$\begin{eqnarray*} h(z_1*z_2) = |z_1|+|z_2| =h(z_1) + h(z_2) \end{eqnarray*}$

Demnach wären ja beides Homomorphismen!?

18.12.2006, 20:36

sqrt(2)

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Zitat:

Original von JayDi
$\begin{eqnarray*} g(z_1+z_2) = z_1+2+z_2+2 \end{eqnarray*}$

Nein.

Zitat:

Original von JayDi
$\begin{eqnarray*} h(z_1*z_2) = |z_1|+|z_2| \end{eqnarray*}$

Sehr eigenwillig geschrieben.

Zitat:

Original von JayDi
Demnach wären ja beides Homomorphismen!?

Nein.

18.12.2006, 21:00

JayDi

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Aber zumindest das stimmt:

$\begin{eqnarray*} g(z_1+z_2) \end{eqnarray*}$
?

Und warum stimmt dann der nächste Schritt nicht?

Ich meine:
$\begin{eqnarray*} g(z_1)+ g(z_2) \end{eqnarray*}$

und da z auf z+2 abbildet, habe ich das einfach dafür eingesetzt

$\begin{eqnarray*} z_1+2+ z_2+2 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} h(z_1*z_2) = |z_1|+|z_2| \end{eqnarray*}$

Sehr eigenwillig geschrieben.

Eigenwillig klingt so nach: falsch

$\begin{eqnarray*} h(z_1\cdot_{\mathbb C }z_2) = h(z_1)\cdot_\mathbb R h(z_2) \end{eqnarray*}$

Wo genau sind denn die Fehler bzw. wie muss ich es anders machen?

Grüße,
JayDi

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18.12.2006, 22:58

sqrt(2)

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Zitat:

Original von JayDi
Aber zumindest das stimmt:

$\begin{eqnarray*} g(z_1+z_2) \end{eqnarray*}$
?

Das könnte am Anfang deiner Zeile stehen.

Zitat:

Original von JayDi
Und warum stimmt dann der nächste Schritt nicht?

Ich meine:
$\begin{eqnarray*} g(z_1)+ g(z_2) \end{eqnarray*}$

Genau das sollst du nachweisen oder widerlegen.

Zitat:

Original von JayDi

Zitat:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} h(z_1*z_2) = |z_1|+|z_2| \end{eqnarray*}$

Sehr eigenwillig geschrieben.

Eigenwillig klingt so nach: falsch

Bei dir kennzeichnet ein Plus plötzlich die Multiplikation in den reellen Zahlen.

Zitat:

Original von JayDi
$\begin{eqnarray*} h(z_1\cdot_{\mathbb C }z_2) = h(z_1)\cdot_\mathbb R h(z_2) \end{eqnarray*}$

Das ist widerum genau das, was du nachweisen sollst. (In diesem Falle ist es auch wahr.)

18.12.2006, 23:38

JayDi

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Hallo.

Ums noch einmal zusammenzufassen, ich soll zeigen oder widerlegen, dass

$\begin{eqnarray*} g(z_1+z_2)=g(z_1)+ g(z_2) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} h(z_1\cdot_{\mathbb C }z_2) = h(z_1)\cdot_\mathbb R h(z_2) \end{eqnarray*}$

Also du hattest mir ja den Hinweis gegeben:

Zitat:

Wenn $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ die entsprechende Operation ist, musst du nur auf $\begin{eqnarray*} f(x\circ y)=f(x)\circ f(y) \end{eqnarray*}$ überprüfen, das ist schon alles.

Aber $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ ist hier nicht die Operation, oder?

$\begin{eqnarray*} h(z_1\cdot_{\mathbb C }z_2) \end{eqnarray*}$

Dann setze ich für z_1 |z_1| ein und |z_2| für z_2

$\begin{eqnarray*} h(z_1\cdot_{\mathbb C }z_2)=|z_1|*|z_2| \end{eqnarray*}$

Über den Betrag einer komplexen Zahl weiss ich, dass er gleich $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2+b^2} \end{eqnarray*}$ ist.

Kann ich das verwenden? Ich glaube nicht, oder? Und daraus würde ich dann wieder machen

$\begin{eqnarray*} h(z_1) * h(z_2) \end{eqnarray*}$

Aber wenn ich es mit $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ verknüpfe, stimmt es nicht mehr.

$\begin{eqnarray*} h(z_1\circ z_2)=h(z_2)= h(z_1)\circ h(z_2) = h(h(z_2) = h(|z_2|) \end{eqnarray*}$

Ich verstehe leider immernoch nicht, was genau ich machen muss, um die Sachen zu zeigen

19.12.2006, 00:42

sqrt(2)

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Zitat:

Original von JayDi
Ums noch einmal zusammenzufassen, ich soll zeigen oder widerlegen, dass

$\begin{eqnarray*} g(z_1+z_2)=g(z_1)+ g(z_2) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} h(z_1\cdot_{\mathbb C }z_2) = h(z_1)\cdot_\mathbb R h(z_2) \end{eqnarray*}$

Genau das.

Zitat:

Original von JayDi
Also du hattest mir ja den Hinweis gegeben:

Zitat:

Wenn $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ die entsprechende Operation ist, musst du nur auf $\begin{eqnarray*} f(x\circ y)=f(x)\circ f(y) \end{eqnarray*}$ überprüfen, das ist schon alles.

Das war kein Hinweis, sondern die Definition eines Endomorphismus, was nur ein Homorphismus einer Gruppe in sich selbst ist, also das, was du im ersten Fall dann vorliegen hättest.

Zitat:

Original von JayDi
Aber $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ ist hier nicht die Operation, oder?

$\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ bezeichnete nicht eine bestimmte Operation (ich nehme an, du meintest die Komposition, aber das ergäbe nur Sinn, wenn es um eine Gruppe über einer Menge von Funktionen ginge, etwa um die symmetrische Gruppe), sondern war ein Platzhalter für eine beliebige Operation, d.h. die Operation der Gruppe.

Zitat:

Original von JayDi
$\begin{eqnarray*} h(z_1\cdot_{\mathbb C }z_2) \end{eqnarray*}$

Dann setze ich für z_1 |z_1| ein und |z_2| für z_2

$\begin{eqnarray*} h(z_1\cdot_{\mathbb C }z_2)=|z_1|*|z_2| \end{eqnarray*}$

Und damit bist du schon einen Schritt zu weit. Es ist

$\begin{eqnarray*} h(z_1 \cdot_{\mathbb C} z_2)=|z_1\cdot_{\mathbb C} z_2| \end{eqnarray*}$ ,

was erst mit weiterer Überlegung gleich

$\begin{eqnarray*} |z_1|\cdot_{\mathbb R}|z_2|=h(z_1)\cdot_{\mathbb R}h(z_2) \end{eqnarray*}$

ist. (Es ist sehr wahrscheinlich, dass ihr das schon bewiesen habt.)

19.12.2006, 17:45

JayDi

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Servus.

Warum ist das nicht der nächste Schritt
$\begin{eqnarray*} |z_1\cdot_{\mathbb C} z_2| = |z_1| \circ_{\mathbb R} |z_2| \end{eqnarray*}$

?

Ich meine, von den komplexen Zahlen wird doch auf die reellen abgebildet.

Wieso soll das dann als nicht der nächste Schritt sein?

19.12.2006, 17:51

sqrt(2)

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Du redest irgendwie Wirrwarr.

$\begin{eqnarray*} h(z_1\cdot_{\mathbb C} z_2)=|z_1\cdot_{\mathbb C} z_2|=|z_1|\cdot_{\mathbb R}|z_2|=h(z_1)\cdot_{\mathbb R} h(z_2) \end{eqnarray*}$

wäre die Lösung für b) (Antwort: es handelt sich um einen Homomorphismus), zumindest unter der Annahme, dass ihr $\begin{eqnarray*} |z_1\cdot_{\mathbb C} z_2|=|z_1|\cdot_{\mathbb R}|z_2| \end{eqnarray*}$ schon bewiesen habt.

19.12.2006, 19:18

JayDi

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Hi.

Zitat:

Du redest irgendwie Wirrwarr.

Das kommt daher, dass ich die Formel noch nie gesehen habe und deswegen auch in der Tat verwirrt war smile

smile

Zitat:

$\begin{eqnarray*} h(z_1\cdot_{\mathbb C} z_2)=|z_1\cdot_{\mathbb C} z_2|=|z_1|\cdot_{\mathbb R}|z_2|=h(z_1)\cdot_{\mathbb R} h(z_2) \end{eqnarray*}$

Schön, danke für die Aufklärung!

Und wie mache ich es für das Beispiel
$\begin{eqnarray*} (\mathbb Z,+)\to(\mathbb Z,+);z \to z+2 \end{eqnarray*}$

Da soll ich ja zeigen:
g(a + b) = g(a) + g(b)

d. h. also $\begin{eqnarray*} g(z_1+z_2) = \overline{z_1+z_2} = \overline{z_1}+\overline{z_2} = g(z_1)+g(z_2) \end{eqnarray*}$

Das $\begin{eqnarray*} \overline{z_1+z_2} \end{eqnarray*}$ bedeutet ja so viel wie: komplex kunjugiert.

Nur inwiefern kann ich jetzt damit arbeiten? Ich denke mal, es handelt sich hier nicht um einen Homomorphismus, oder? Also müsste ich ja irgendwie das widerlegen können, indem ich für z_1 irgendetwas einsetze?

Viele Grüße, JayDi

19.12.2006, 20:53

sqrt(2)

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Woher zum Teufel hast du das jetzt plötzlich mit der komplexen Konjugation? Davon ist wirklich nirgends die Rede (mal abgesehen davon, dass wir uns in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ befinden, sodass davon noch nicht einmal die Rede sein kann).

19.12.2006, 20:57

JayDi

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Zitat:

Woher zum Teufel hast du das jetzt plötzlich mit der komplexen Konjugation?

Aus'm Buch...

Ich dachte, ich kann das verwenden.

Wovon sollte denn die rede sein, wenn nicht davon?

Gut, vielleicht ist es keine komplexe konjugation, aber was ist mit der Formel:
$\begin{eqnarray*} g(z_1+z_2) = \overline{z_1+z_2} = \overline{z_1}+\overline{z_2} = g(z_1)+g(z_2) \end{eqnarray*}$

Gilt die?

Wenn nicht, dann habe ich nicht einmal ein Ansatz, wie ich an $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z,+)\to(\mathbb Z,+);z \to z+2 \end{eqnarray*}$ herangehen soll.

19.12.2006, 21:18

sqrt(2)

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Zitat:

Original von JayDi

Zitat:

Woher zum Teufel hast du das jetzt plötzlich mit der komplexen Konjugation?

Aus'm Buch...

Das hat hiermit nur rein gar nichts zu tun.

Zitat:

Original von JayDi
Wovon sollte denn die rede sein, wenn nicht davon?

Von ganzen Zahlen. g ist eine Abbildung von den ganzen Zahlen in die ganzen Zahlen. Eine komplexe Konjugation ist da höchst sinnlos.

Zitat:

Original von JayDi
Wenn nicht, dann habe ich nicht einmal ein Ansatz, wie ich an $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z,+)\to(\mathbb Z,+);z \to z+2 \end{eqnarray*}$ herangehen soll.

$\begin{eqnarray*} g(z) = z + 2 \end{eqnarray*}$ . Du wirst doch noch in der Lage sein, in die Funktion $\begin{eqnarray*} z_1+z_2 \end{eqnarray*}$ einzusetzen und zu überprüfen, ob der Funktionswert dann gleich $\begin{eqnarray*} g(z_1)+g(z_2) \end{eqnarray*}$ ist?

19.12.2006, 21:47

JayDi

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} g(z) = z + 2 \end{eqnarray*}$ . Du wirst doch noch in der Lage sein, in die Funktion $\begin{eqnarray*} z_1+z_2 \end{eqnarray*}$ einzusetzen und zu überprüfen,

Na ich weiss nicht, kann mans so machen:

$\begin{eqnarray*} g(z_1+z_2) = (z_1+z_2) + 2 \not= z_1+2 + z_2 + 2 =g(z_1) +g(z_2) \end{eqnarray*}$

?

19.12.2006, 22:21

sqrt(2)

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Ja.

20.12.2006, 16:53

JayDi

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Ich habe da noch ein anderes Beispiel, zu testen, ob es sich um ein Gruppenhomomorphismus handelt.

$\begin{eqnarray*} (\mathbb Z / p, +) \rightarrow (\mathbb Z / p, +); \overline a \to \overline{a^p} \end{eqnarray*}$

wobei p eine Primzahl ist.

Jetzt muss ich ja zeigen

$\begin{eqnarray*} h(a+b) = h(a)+h(b) \end{eqnarray*}$

Jetzt nehme ich die Formel:
$\begin{eqnarray*} g(z_1+z_2) = \overline{z_1+z_2} = \overline{z_1}+\overline{z_2} = g(z_1)+g(z_2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h(\overline a_1 + \overline a_2) = (\overline{a_1+a_2} )^p =\overline{a_1}+\overline{a_2} = a_1^p + a_2^p =h(\overline a_1)+h(\overline a_2) \end{eqnarray*}$

Somit Gruppenhomomorphismus.

Richtig?? Falls nein, wäre eine Erläuterung super smile

smile

Viele Grüße Wink

Wink

20.12.2006, 21:52

SilverBullet

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} h(\overline a_1 + \overline a_2) = (\overline{a_1+a_2} )^p =\overline{a_1}+\overline{a_2} = a_1^p + a_2^p =h(\overline a_1)+h(\overline a_2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{a_1}+\overline{a_2} = a_1^p + a_2^p \end{eqnarray*}$

Wie kommst du denn darauf ?

Wo ist beim ersten der Exponent und beim zweiten der Betrag ?

20.12.2006, 22:40

JayDi

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Durch die Formel

$\begin{eqnarray*} g(z_1+z_2) = \overline{z_1+z_2} = \overline{z_1}+\overline{z_2} = g(z_1)+g(z_2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h(\overline a_1 + \overline a_2) = (\overline{a_1+a_2} )^p \end{eqnarray*}$

Bis dahin war ich mir relativ sicher

$\begin{eqnarray*} =\overline{a_1}+\overline{a_2} = a_1^p + a_2^p =h(\overline a_1)+h(\overline a_2) \end{eqnarray*}$

Ich habe mal gehoert, dass der Exponent dann wegfällt. Also nicht, also heisst es
$\begin{eqnarray*} \overline{a_1}^p+\overline{a_2}^p=h(\overline{a_1})+h(\overline{a_2} \end{eqnarray*}$

Oder wie geht das? traurig

traurig

21.12.2006, 16:02

SilverBullet

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Nein nein wollte da nichts kritisieren an der Lösung Big Laugh

Big Laugh

Hab nur noch nie Variablen mit dem Strich drüber gesehen.
Dachte erst es geht um das komplex konjugierte aber es sind
Restklassen und mit denen lässt sich wohl ganz normal rechnen.

Wenn ihr da was drüber gemacht habt wird es wohl stimmen ich würde es rein intuitiv einfach so schreiben :

$\begin{eqnarray*} h(\overline a_1 + \overline a_2) = (\overline{a_1+a_2} )^p =\overline{a_1}^p+\overline{a_2}^p =h(\overline a_1)+h(\overline a_2) \end{eqnarray*}$

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