mit komplexen Zahlen rechnen. Insbesondere was ist die Wurzel aus i?

25.07.2011, 08:17

antjeprincipessa

mit komplexen Zahlen rechnen. Insbesondere was ist die Wurzel aus i?

Meine Frage:
Hi Leute. Bereite mich gerade auf eine Klausur vor und habe folgendes GLS, was ich im Bezug auf die Lösung einer Differenzengleichung zu lösen habe. Ich verstehe nur die Lösung nicht so ganz. Vor allem warum hier $\begin{eqnarray*} \sqrt{3}*i=\sqrt{3i} \end{eqnarray*}$ ist.

So sieht das GLS aus:
$\begin{eqnarray*} -\sqrt{3i}*v_1+(-\sqrt{3})*v_2=0\\\sqrt{3}*v_1+(-\sqrt{3i})*v_2=0 \end{eqnarray*}$

Die Lösung soll sein $\begin{eqnarray*} v_1=1, v_2=i \end{eqnarray*}$

So ganz verstehe ich die Lösung nicht.

Meine Ideen:
Schon bei den Vorzeichen hapert es bei mir. Wenn ich v_1 und v_2 einsetze, habe ich ja das:
$\begin{eqnarray*} -\sqrt{3i}+(-\sqrt{3})*i=0\\\sqrt{3}+(-\sqrt{3i})*i=0 \end{eqnarray*}$

Muss ich das jetzt quadrieren oder was? Und wenn ja, wie komme ich denn selber auf die Lösung? Wahrscheinlich sieht man das mal wieder, aber ich seh das immer nicht:-(

25.07.2011, 10:58

Huggy

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RE: mit komplexen Zahlen rechnen. Insbesondere was ist die Wurzel aus i????
Hast du die Gleichungen richtig abgeschrieben?

Diese Gleichungen haben die Lösung $\begin{eqnarray*} v_1=v_2=0 \end{eqnarray*}$ .

25.07.2011, 11:07

antjeprincipessa

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ich glaub ich hab eine Antwort auf mein Problem:-)
Wenn ich das nämlich richtig deute, steht i nicht unter der Wurzel:-)
ich musste zunächst folgende NS bestimmen: $\begin{eqnarray*} 0=x^2+2x+4 \end{eqnarray*}$ nach einsetzen in die p-/q-Formel habe ich dann $\begin{eqnarray*} x=-1+/-\sqrt{-3} \end{eqnarray*}$ und jetzt ist halt die Frage, ob es heißt $\begin{eqnarray*} 1+\sqrt{3}*i \end{eqnarray*}$ oder eben $\begin{eqnarray*} 1+\sqrt{3i} \end{eqnarray*}$
Wenn es ersteres ist, dann versteh ich ihre Lösung. Also wird es wohl ersteres sein. Klassisches Problem des Nicht-Verständnisses einer Sache.

Vielleicht kann mir einer kurz die Sache mit dem i erklären????? Also wie bestimme ich halt $\begin{eqnarray*} \sqrt{-x} \end{eqnarray*}$

25.07.2011, 11:20

klarsoweit

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Also dieses bißchen Grundlagen-Mathe solltest du nach ein paar Semester-Wochen schon parat haben.

Von einer negativen Zahl a ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ nicht definiert.

Allenfalls gibt es innerhalb der komplexen Zahlen Lösungen der Gleichung x² = a, die mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{-a} \cdot i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -\sqrt{-a} \cdot i \end{eqnarray*}$ bezeichnet werden.

25.07.2011, 11:25

Huggy

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Es ist zunächst mal ziemlich unerheblich, wo das i steht. Die Gleichungen haben immer die Lösung $\begin{eqnarray*} v_1=v_2=0 \end{eqnarray*}$ , wenn auf der rechten Seite bei beiden Gleichungen 0 steht. Wenn die Gleichungen linear unabhängig sind, ist das die einzige Lösung. Wenn sie linear abhängig sind, gibt es eine unendliche Lösungsmenge.

25.07.2011, 11:42

DmitriJakov

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Doppelt

25.07.2011, 11:44

DmitriJakov

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@klarsoweit:
Bist Du sicher dass die Lösung von
$\begin{eqnarray*} x^{2}=a \end{eqnarray*}$ mit a<0 auch $\begin{eqnarray*} -\sqrt{-a}*i \end{eqnarray*}$ ist?

Denn bei a=-1 wird daraus $\begin{eqnarray*} -\sqrt{-(-1)}i=-\sqrt{1}i=-i=1/i \end{eqnarray*}$

25.07.2011, 12:30

antjeprincipessa

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@Huggy: Schon klar, dass v1 und v2 auch Null sein können:-) Ich suche aber die Eigenvektoren einer Matrix!

Ansonsten Danke für die Antworten:-) Bei komplexen Zahlen graut es mich einfach.......
Als Lehramtsstudent bin ich damit einfach noch nicht oft in Berührung gekommen und jetzt muss ich komplexwertige Lösungen von Diffferenzengleichungen angeben BÄH......

Hab da noch ne Frage, die vielleicht jemand beantworten kann:

anscheinend ist: $\begin{eqnarray*} \cos({n\frac{\pi}{2}})*(1-2i)=\cos({n\frac{\pi}{2}})+2*\sin({n\frac{\pi}{2}}) \end{eqnarray*}$ kann mir das vielleicht jemand erklären? Hier komme ich einfach nicht so richtig weiter....

25.07.2011, 12:41

Huggy

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Zitat:

Original von antjeprincipessa
anscheinend ist: $\begin{eqnarray*} \cos({n\frac{\pi}{2}})*(1-2i)=\cos({n\frac{\pi}{2}})+2*\sin({n\frac{\pi}{2}}) \end{eqnarray*}$ kann mir das vielleicht jemand erklären? Hier komme ich einfach nicht so richtig weiter....

Was soll n sein?
Bei reellem n ist das jedenfalls nicht richtig.

25.07.2011, 12:48

klarsoweit

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Zitat:

Original von DmitriJakov
@klarsoweit:
Bist Du sicher dass die Lösung von
$\begin{eqnarray*} x^{2}=a \end{eqnarray*}$ mit a<0 auch $\begin{eqnarray*} -\sqrt{-a}*i \end{eqnarray*}$ ist?

Denn bei a=-1 wird daraus $\begin{eqnarray*} -\sqrt{-(-1)}i=-\sqrt{1}i=-i=1/i \end{eqnarray*}$

Warum nicht? (-i)² = i² = -1

25.07.2011, 12:56

DmitriJakov

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Hast wahrscheinlich recht. WolframAlpha sagt das auch. Es hatte mich eben verwirrt, weil -i=1/i

aber auch $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{i})^{2} \end{eqnarray*}$ wird ja zu $\begin{eqnarray*} \frac{1}{-1} \end{eqnarray*}$ Und damit zu -1

25.07.2011, 13:23

antjeprincipessa

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Also ich habe die Differenzengleichung $\begin{eqnarray*} x_{n+1}=Ax_n \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & -5 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Nun soll ich eine reelle Darstellung der allgemeinen Lösung angeben.
Für die Eigenwerte habe ich $\begin{eqnarray*} \lambda_1=4, \lambda_2=2i, \lambda_3=-2i \end{eqnarray*}$
Die dazugehörigen Eigenvektoren sind $\begin{eqnarray*} v_1=\begin{bmatrix}-1\\ 1\\0\end{bmatrix}, v_2=\begin{bmatrix}5\\1-2i\\0\end{bmatrix}, v_3=\begin{bmatrix}5\\1+2i\\0\end{bmatrix} \end{eqnarray*}$
Um jetzt mit Hilfe von $\begin{eqnarray*} \lambda_2=2i, v_2=\begin{bmatrix}5\\1-2i\\0\end{bmatrix} \end{eqnarray*}$ ein relles Fundamentalsystem zu berechnen, brauche ich den
$\begin{eqnarray*} \Re\lambda^{n}_{2}v_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Im\lambda^{n}_{2}v_2 \end{eqnarray*}$ Es ist ja
$\begin{eqnarray*} \lambda^{n}_{2}v_2=(2i)^n*\begin{bmatrix}5\\1-2i\\0\end{bmatrix}=2^n*(cos(n\frac{\pi}{2})+i\sin(n\frac{\pi}{2}))*\begin{bmatrix}5\\1-2i\\0\end{bmatrix} \end{eqnarray*}$
Soweit gehe ich mit und es ist auch alles klar soweit, aber die nächste Zeile verstehe ich nicht. Hier wird das Skalar halt mit dem Vektor multipliziert und es kommt raus:
$\begin{eqnarray*} 2^n*\begin{bmatrix}5\cos(n\frac{\pi}{2})\\cos(n\frac{\pi}{2})+2sin(n\frac{\pi}{2})\\0\end{bmatrix}+i2^n+\begin{bmatrix}5\sin(n\frac{\pi}{2})\\\sin(n\frac{\pi}{2})-2cos(n\frac{\pi}{2})\\0\end{bmatrix} \end{eqnarray*}$

Edit: Achja und n ist natürlich. n steht ja für das jeweilige xn. also wenn ich x5 bestimmen will, muss ich 5 für n einsetzen:-)

25.07.2011, 15:28

Huggy

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Es wäre nützlich, wenn du gleich die richtigen Fragen stellst. Das Problem hat wenig mit deiner vorigen Frage zu tun.

Zitat:

Original von antjeprincipessa
Es ist ja
$\begin{eqnarray*} \lambda^{n}_{2}v_2=(2i)^n*\begin{bmatrix}5\\1-2i\\0\end{bmatrix}=2^n*(cos(n\frac{\pi}{2})+i\sin(n\frac{\pi}{2}))*\begin{bmatrix}5\\1-2i\\0\end{bmatrix} \end{eqnarray*}$
Soweit gehe ich mit und es ist auch alles klar soweit, aber die nächste Zeile verstehe ich nicht. Hier wird das Skalar halt mit dem Vektor multipliziert und es kommt raus:
$\begin{eqnarray*} 2^n*\begin{bmatrix}5\cos(n\frac{\pi}{2})\\cos(n\frac{\pi}{2})+2sin(n\frac{\pi}{2})\\0\end{bmatrix}+i2^n+\begin{bmatrix}5\sin(n\frac{\pi}{2})\\\sin(n\frac{\pi}{2})-2cos(n\frac{\pi}{2})\\0\end{bmatrix} \end{eqnarray*}$

In der letzten Gleichung ist noch ein Schreibfehler. Das letze + muß ein * sein.

Die erste und dritte Zeile sollten klar sein. Und die mittlere Zeile ist doch auch einfach. Wenn man den allgemeinen Faktor $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ mal weglässt und für $\begin{eqnarray*} n \pi/2 \end{eqnarray*}$ zur Abkürzung y setzt, ergibt sich die mittlere Zeile aus

$\begin{eqnarray*} (\cos y+i\sin y)(1-2i) \end{eqnarray*}$

Und das brauchst du nur auszumultiplizieren und wieder nach Realteil und Imaginärteil zu sortieren.

25.07.2011, 15:59

antjeprincipessa

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DANKE!!!!
Da hatte ich einfach einen Denfehler drin. Wusste nicht, dass das sortiert ist. Vielen lieben Dank, dann kann die KLausur morgen starten:-)

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mit komplexen Zahlen rechnen. Insbesondere was ist die Wurzel aus i?

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