Gruppenoperation

25.07.2011, 11:36

Songuti

Gruppenoperation

Hallo,

Ich habe eine Frage zu folgender Abbildung:

f: G --> Sx, wobei Sx die symmetrische Gruppe ist, G eine Gruppe und X eine Menge. F ist ein Gruppenhomomorphismus.

Die Abbildung sieht, wie folgt aus:

f(g,x)=f(g)*x.

Mir ist nicht klar, warum dies eine Operation von G auf X definiert.

Mein Ansatz:

Ich muss die Eigenschaften einer Operation überprüfen.

Für eine Abbildung G x X --> X
(g,x) --> g.x
soll gelten

1 1.x=x
2 (g*h).x=g.(h.x) für alle g,h aus G , x aus X

Bei obiger Abbildung, wird die 1 jedoch auf die identische Abbidlung abgebildet (die Eins in Sx). Das heißt ich hätte dann Id*x. Damit weiß ich nichts anzufangen.

Viele Grüße,

Marcus

25.07.2011, 12:38

Rako

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"f(g,x)=f(g)*x" drückt aus, wie $\begin{eqnarray*} g\in G \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ operiert (auch wenns eine verwirrende schreibweise ist.
Wenn G auf X opieriert, dann ist allgemein f die Permutationsdarstellung dazu. Sie gibt nur an, wie Elemente aus G sich auf Elemente aus X auswirken.

Ich kenne es so:

Für $\begin{eqnarray*} g\in G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ setzt man: $\begin{eqnarray*} x^g := x^{f(g)} \end{eqnarray*}$ also eine Permutation aus $\begin{eqnarray*} S_X \end{eqnarray*}$ .
Gibt auch die schreibweise: g*x und x*g.. alles geschmackssache.

Gruß

25.07.2011, 12:51

Songuti

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Hallo Rako,

Vielen Dank für deine Antwort. Mir ist ein Fehler unterlaufen.

Die Operationsabbildung sieht wie folgt aus (die bennene ich im folgenden mit p)

p(g,x)=f(g)*x, wobei f ein Homomorphismus von G nach Sx ist.

Ich frage mich, warum dies eine Gruppenoperation darstellt.
Wenn ich die erste Bedingung überprüfen möchte:
p(1,x)=1' * x, wobei 1' ja das neutrale Element von f ist (also die identische Abbildung). Ich verstehe dabei nicht, was die identische Abbildung (abgekürzt Id) verknüpft mit x bedeuten soll.
Also: was sagt mir Id*x? Warum ist Id*x=x? Oder ist das Definition.

25.07.2011, 14:38

Rako

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Also damit G auf X operiert, überprüfst du die 2 Bedingen. (Assoziativität und Wirkung des Einselements von G auf X).

$\begin{eqnarray*} p(g*h,x) = f(g*h)*x = f(g)*(f(h)*x)) = p(g,p(h,x)) \end{eqnarray*}$ Assoz.
$\begin{eqnarray*} p(1_G,x) = f(1_G)*x = Id_X * x = x \end{eqnarray*}$ Eins.

$\begin{eqnarray*} f(1_G) = Id_X \end{eqnarray*}$ weil f ein Homomorphismus ist. Und $\begin{eqnarray*} Id_X \end{eqnarray*}$ ist eine Permutation aus $\begin{eqnarray*} S_X \end{eqnarray*}$ die jedes x auf sich selbst abbildet.

Bsp. Sym(3) operiert auf der Menge der Zahlen von 1,2,3. Dein f wäre dann z.B. $\begin{eqnarray*} f=id_{S_3} \end{eqnarray*}$ . Dann ist mit x=1 und g= (1,2) zB.

$\begin{eqnarray*} p((1,2),1) = (1,2)*1 = 2 \end{eqnarray*}$ da (1,2) die 1 auf die 2 Abbildet.

Gruß

25.07.2011, 14:56

Songuti

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Hallo Rako,

Genau hier liegt mein Problem, ich sehe nicht, warum
$\begin{eqnarray*} p(1_G,x)=x \end{eqnarray*}$
Z.b.
$\begin{eqnarray*} p( (2,2) , 1)=2*1=2 \end{eqnarray*}$ , was ungleich 1 ist, oder?

Gruß

25.07.2011, 15:36

Rako

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Bleiben wir mal bei den allgemeinen Gruppen.
Du willst zeigen: $\begin{eqnarray*} p(1_G,x) = x \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ (wobei X im übrigen nicht unbedingt eine Gruppe ist, kann auch ne Menge {rot, blau, grün...} sein.)

Du hast $\begin{eqnarray*} p(1_G,x) = f(1_G)*x \end{eqnarray*}$ (so hast du deine Grp.operation definiert.)

Da f ja laut deinem ersten Post ein Gruppenhomomorphismus von G nach $\begin{eqnarray*} Sym_X \end{eqnarray*}$ ist (diesen nennt man im allgemeinen die Permutationsdarstellung von G auf X) bildet f das Einselement von G auf das Einselement von $\begin{eqnarray*} Sym_X \end{eqnarray*}$ ab, wobei $\begin{eqnarray*} 1_{Sym_X} = id_X \end{eqnarray*}$ ist.

Es folgt: $\begin{eqnarray*} p(1_G,x) = f(1_G)*x= id_X*x = x \end{eqnarray*}$ (letzteres liest du als $\begin{eqnarray*} id_X(x) = x \end{eqnarray*}$ )

Verstehst du das? Hast du denn die Symmetrischen Gruppen verstanden?
Nochmal: Wenn G auf einer Menge X operiert, dann ordnet man jedem $\begin{eqnarray*} g\in G \end{eqnarray*}$ mit Hilfe einer Permuationsdarstellung (hier f) eine Permatation aus $\begin{eqnarray*} Sym_X \end{eqnarray*}$ zu.

25.07.2011, 15:38

Rako

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Übrigens stand hier schon die Lösung in deinem ersten Post:

Zitat:

Bei obiger Abbildung, wird die 1 jedoch auf die identische Abbidlung abgebildet (die Eins in Sx). Das heißt ich hätte dann Id*x. Damit weiß ich nichts anzufangen.

$\begin{eqnarray*} Sym_X \end{eqnarray*}$ sind die Bijektionen von X nach X. Und Id ist die die x auf x, y auf y, usw. schickt.

-.- Sollte mich vllt reggen.

Gruß

25.07.2011, 16:28

Songuti

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Zitat:

Original von Rako

Es folgt: $\begin{eqnarray*} p(1_G,x) = f(1_G)*x= id_X*x = x \end{eqnarray*}$ (letzteres liest du als $\begin{eqnarray*} id_X(x) = x \end{eqnarray*}$ )

Danke, wenn ich es als Id(x)=x lese ist es mir klar. Ich hatte es als Id*x gelesen (also Id mal x). unglücklich

Gruß

25.07.2011, 16:32

Rako

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Ist nur eine andere Schreibweise. Sym_X operiert halt in natürlicherweise auf X.

Gruß

25.07.2011, 17:03

Songuti

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Zitat:

Original von Rako

$\begin{eqnarray*} p(g*h,x) = f(g*h)*x = f(g)*(f(h)*x)) = p(g,p(h,x)) \end{eqnarray*}$ Assoz.

Ich wollte noch einmal sicherheitshalber nachfragen.

$\begin{eqnarray*} p(g*h,x) = f(g*h)*x = (f(g)*f(h))*x \end{eqnarray*}$

Warum kann ich danach umklammern? X ist ja nicht notwendigerweise eine Gruppe. Oder habe ich die Schreibweise noch nicht ganz verstanden?

Gruß

25.07.2011, 17:34

Rako

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Weil Abbildungen assoziativ wirken. Da steht ja wieder $\begin{eqnarray*} (f(g)\circ f(h))(x) \end{eqnarray*}$ wobei f(g) und f(h) Abbildungen (Permutationen aus $\begin{eqnarray*} S_X \end{eqnarray*}$ sind).

Allgemein gilt für Abbildungen f,g:

$\begin{eqnarray*} (f\circ g)(x) = f(g(x)) \end{eqnarray*}$

Gruß

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