Rechnen mit der Jacobi Matrix

25.07.2011, 14:04

_-Alex-_

Rechnen mit der Jacobi Matrix

Hallo,

ich wollte mal fragen, ob und wie man mit einer Jacobi Matrix rechnen kann. Ich kann ja nicht Vektoren reinmultiplizieren, wie ich es bei anderen Abbildungsmatrizen kann.

MfG

25.07.2011, 14:22

lgrizu

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RE: Rechnen mit der Jacobi Matrix
Was möchtest du denn berechnen?

Und selbstverständlich kannst du an eine Jacobimatrix Vektoren heranmultiplizieren, bei der Taylorapproximation wird das auch getan.

25.07.2011, 15:10

_-Alex-_

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Falls ich jetzt folgende J.Matrix habe:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} (x) & \hdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} (x) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m }{x_1} (x) & \hdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} (x) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und nun einen Vektor $\begin{eqnarray*} \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ anmultiplizieren möchte. Was habe ich dann?
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} (x) \cdot x_1 + \hdots + \frac{\partial f_1}{\partial x_n} (x) \cdot x_n \\ \vdots \\ \frac{\partial f_m }{x_1} (x) \cdot x_1 + \hdots + \frac{\partial f_m}{\partial x_n} (x) \cdot x_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

Oder wird direkt etwas in meine partiellen Ableitungen eingesetzt?

25.07.2011, 15:17

Wetal

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Zitat:

Original von _-Alex-_
Oder wird direkt etwas in meine partiellen Ableitungen eingesetzt?

jup. es ist ja eine Matrixwertige funktion. die musst irgendwo auswerten.

25.07.2011, 17:08

_-Alex-_

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Aber es ist doch ein unterschied ob ich
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} (x) \cdot x_1 + \hdots + \frac{\partial f_1}{\partial x_n} (x) \cdot x_n \\ \vdots \\ \frac{\partial f_m }{x_1} (x) \cdot x_1 + \hdots + \frac{\partial f_m}{\partial x_n} (x) \cdot x_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} (\vec{x}) & \hdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} (\vec{x}) \\ \vdots & \hdots & \vdots \\ \frac{\partial f_m }{x_1} (\vec{x}) & \hdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} (\vec{x}) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wo ist da jetzt der anschauliche Unterschied?

25.07.2011, 17:18

lgrizu

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Aber selbsverständlich ist das ein Unterschied.....

Zitat:

Original von _-Alex-_
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} (\vec{x}) & \hdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} (\vec{x}) \\ \vdots & \hdots & \vdots \\ \frac{\partial f_m }{x_1} (\vec{x}) & \hdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} (\vec{x}) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das hier sind deine partiellen Ableitungen, also deine Jakobimatrix J.

Zitat:

Das hier ist das Produkt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} (\vec{x}) & \hdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} (\vec{x}) \\ \vdots & \hdots & \vdots \\ \frac{\partial f_m }{x_1} (\vec{x}) & \hdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} (\vec{x}) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\....\\x_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , also die Richtungsableitung in Richtung des Vektors $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\....\\x_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

25.07.2011, 17:53

Wetal

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Zitat:

Original von _-Alex-_
Aber es ist doch ein unterschied ob ich
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} (x) \cdot x_1 + \hdots + \frac{\partial f_1}{\partial x_n} (x) \cdot x_n \\ \vdots \\ \frac{\partial f_m }{x_1} (x) \cdot x_1 + \hdots + \frac{\partial f_m}{\partial x_n} (x) \cdot x_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} (\vec{x}) & \hdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} (\vec{x}) \\ \vdots & \hdots & \vdots \\ \frac{\partial f_m }{x_1} (\vec{x}) & \hdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} (\vec{x}) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wo ist da jetzt der anschauliche Unterschied?

Ich hoffe, dass dir klar ist, dass hier $\begin{eqnarray*} x = \vec{x} = (x_1, \ldots, x_n)^T \end{eqnarray*}$ . Gibt Leute, die so etwas verwirrt. Man wertet die Matrix J bei einem x aus. Dann hast du J(x). Es kommt dabei eine Matrix raus. Diese kannst du mit Vektoren multiplizieren. Die Frage ist nun, was du mit der Jacobimatrix vor hast.

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