Konvergenzradius mit Quotientenkriterium bei Potzenreihen

25.07.2011, 17:29

taib

Konvergenzradius mit Quotientenkriterium bei Potzenreihen

Ich suche den Konvergenzradius der Potenzreihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} \left (\frac{(-1)^n}{(2n)!})\right (z^{2n}) \end{eqnarray*}$

Substition: $\begin{eqnarray*} y = z^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} \left (\frac{(-1)^n}{(2n)!}) \right (y^n) \end{eqnarray*}$

Mit den Quotietenkrterium:

$\begin{eqnarray*} \sigma := \lim_{n \to \infty} \left| (\frac{(-1)^{n+1} 2(n)!}{((2(n+1))! (-1)^n)}) \right| \end{eqnarray*}$

! auflösen und (-1)^n+1

$\begin{eqnarray*} = \lim_{n \to \infty} \left| (\frac{(-1)^{n} (-1)}{(2(n+1) (-1)^n)}) \right| \end{eqnarray*}$

n rausholen und über den Term ziehen

$\begin{eqnarray*} = \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{2(n+1)})^n \end{eqnarray*}$

Gleichung anpassen

$\begin{eqnarray*} = \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{2n+2})^n \end{eqnarray*}$

Würde gerne erstmal wissen ob das Zwischenergebniss erstmal richtig ist bevor ich mit den Grenzwert anfange,

Tai

25.07.2011, 18:03

Wetal

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenzradius mit Quotientenkriterium bei Potzenreihen
du musst aufpassen, da

$\begin{eqnarray*} 2(n)! \neq (2n)! \end{eqnarray*}$

schau dir nochmal den ausdruck von $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ genauer an.

25.07.2011, 18:37

taib

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenzradius mit Quotientenkriterium bei Potzenreihen

Zitat:

Original von Wetal
du musst aufpassen, da

$\begin{eqnarray*} 2(n)! \neq (2n)! \end{eqnarray*}$

schau dir nochmal den ausdruck von $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ genauer an.

Danke, auf den Blatt steht auch (2n)!, hab das irgendwie falsch in latex umgesetzt.

Also

$\begin{eqnarray*} \sigma := \lim_{n \to \infty} \left| (\frac{(-1)^{n+1} (2n)!}{((2(n+1))! (-1)^n)}) \right| \end{eqnarray*}$

Dann seh ich natürlich auch, dass ich
$\begin{eqnarray*} (2n)! \end{eqnarray*}$ nicht mit $\begin{eqnarray*} (2(n+1))! \end{eqnarray*}$ nicht so kürzen kann

$\begin{eqnarray*} \sigma := \lim_{n \to \infty} \left| (\frac{(-1)^{n+1} (2n)!}{((2(n+1))! (-1)^n)}) \right| \end{eqnarray*}$

Nenner umstellen

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left| (\frac{(-1)^{n+1} (2n)!}{(2n+2)! (-1)^n)}) \right| \end{eqnarray*}$

! kürzen

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left| (\frac{(-1)^{n+1}}{(2n+2) (-1)^n)}) \right| \end{eqnarray*}$

n rausholen und über den Term ziehen

$\begin{eqnarray*} = \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{2n+2})^n \end{eqnarray*}$

oder wäre es sinnvoller einfach (-1)^n zu kürzen, somit wäre der Grenzwert ziehmlich einfach

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left| (\frac{(-1)^{n+1}}{(2n+2) (-1)^n)}) \right| \end{eqnarray*}$

-1 auflösen

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left| (\frac{(-1)^{n}(-1)}{(2n+2) (-1)^n)}) \right| \end{eqnarray*}$

-1^n kürzen

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left| (\frac{-1}{2n+2}) \right| \end{eqnarray*}$

Grenzwert bestimmen

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}(\frac{1}{2n+2}) = 0 \end{eqnarray*}$

Taib

25.07.2011, 19:07

Wetal

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenzradius mit Quotientenkriterium bei Potzenreihen

Zitat:

Original von taib
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left| (\frac{(-1)^{n+1}}{(2n+2) (-1)^n)}) \right| \end{eqnarray*}$

n rausholen und über den Term ziehen

$\begin{eqnarray*} = \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{2n+2})^n \end{eqnarray*}$

wie kommst denn darauf?

also ich würde zunächst alle (-1) weglassen, da du eh betrag von dem ausdruck betrachtest. ferner ist

$\begin{eqnarray*} \frac{(2n)!}{(2n+2)!} = \frac{(2n)!}{(2n+2)(2n+1) \cdot (2n)!} \end{eqnarray*}$

25.07.2011, 22:19

Jeremy124

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenzradius mit Quotientenkriterium bei Potzenreihen
Die Formel nach Cauchy-Hadamard hilft hier. Übrigens ist das die Potenzreihe von cos(x) Freude

27.07.2011, 09:28

taib

Auf diesen Beitrag antworten »

Ausgangs Potzenreihe
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} z^{2n} \end{eqnarray*}$

Substition $\begin{eqnarray*} y=z^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} y^n \end{eqnarray*}$

Damit ist die Vorraussetzung für das Quotientenkriterium erfüllt.

$\begin{eqnarray*} \sigma := \lim_{n \to \infty} \left| \frac{-1x^{n+1} \cdot (2n)!}{(2(n+1))! \cdot (-1)^{n}} \right| \end{eqnarray*}$

Betrag weglassen

$\begin{eqnarray*} = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n)!}{(2(n+1))!} \end{eqnarray*}$

(2(n+1))! auflösen

$\begin{eqnarray*} = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n)!}{(2n+2)!} \end{eqnarray*}$

! reduzieren

$\begin{eqnarray*} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{(2n+2)(2n+1)} \end{eqnarray*}$

sigma bestimmen

$\begin{eqnarray*} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{4n^2 + 6n + 2} = 0 \end{eqnarray*}$

somit ist dann

$\begin{eqnarray*} \sigma = 0 \end{eqnarray*}$

und laut Definition ist der Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} r = \infty \end{eqnarray*}$

27.07.2011, 09:38

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist richtig bis auf dieses:

Zitat:

Original von taib
$\begin{eqnarray*} \sigma := \lim_{n \to \infty} \left| \frac{-1x^{n+1} \cdot (2n)!}{(2(n+1))! \cdot (-1)^{n}} \right| \end{eqnarray*}$

Das $\begin{eqnarray*} x^{n+1} \end{eqnarray*}$ ist da fehl am Platz.

EDIT: ach ich merke, das sollte $\begin{eqnarray*} (-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$ sein. smile

27.07.2011, 11:47

taib

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von klarsoweit
Ist richtig bis auf dieses:

Zitat:

Original von taib
$\begin{eqnarray*} \sigma := \lim_{n \to \infty} \left| \frac{-1x^{n+1} \cdot (2n)!}{(2(n+1))! \cdot (-1)^{n}} \right| \end{eqnarray*}$

Das $\begin{eqnarray*} x^{n+1} \end{eqnarray*}$ ist da fehl am Platz.

EDIT: ach ich merke, das sollte $\begin{eqnarray*} (-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$ sein. smile

ja da hab ich das wohl falsch kopiert :O

Dankeschön Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

Konvergenzradius mit Quotientenkriterium bei Potzenreihen

Verwandte Themen