Zähldichte, Zufallsvariable, Grundraum

25.07.2011, 19:49

Thermi

Zähldichte, Zufallsvariable, Grundraum

Moin!
Zur Klausurvorbereitung bin ich unsicher, was die richtige Verwendung der Begriffe Zähldichte, Zufallsvariable, Grundraum, etc. angeht.
Dazu sei folgende Beispielaufgabe gegeben:

Zitat:

Zwei Spieler A und B ziehen unabhängig voneinander aus einem gut gemischen Skatspiel (32 Karten) abwechselnd eine Karte ohne Zurücklegen. Spieler A beginnt. Wer zuerst Kreuz-Bube oder Pik-Bube zieht, hat gewonnen und das Spiel ist beendet. Ist nach der Ziehung der 3. Karte noch kein Sieger ermittelt, wird das Spiel ohne Sieger abgebrochen. Es bezeichne X die Anzahl der gezogenen Karten. Bestimmen Sie die Zähldichte von X und skizzieren Sie die zugehörige Verteilungsfunktion.

Die Zähldichte ordnet nach meinem Kenntnisstand den verschiedenen Ereignissen aus dem Grundraum eine Wahrscheinlichkeit zu und die Summe aller Wahrscheinlichkeiten muss 1 ergeben. Was macht aber die Zufallsvariable? Wie wähle ich hier einen geeigneten Grundraum (um z.B. auszudrücken: Nach zwei gezogenen Karten entspricht die Wahrscheinlichkeit, dass eine der zwei gefragten Karten gezogen wurde ...)?

Würde mich über etwas Aufklärung sehr freuen!
MfG

25.07.2011, 20:38

Math1986

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RE: Zähldichte, Zufallsvariable, Grundraum

Zitat:

Original von Thermi

Die Zähldichte ordnet nach meinem Kenntnisstand den verschiedenen Ereignissen aus dem Grundraum eine Wahrscheinlichkeit zu und die Summe aller Wahrscheinlichkeiten muss 1 ergeben.

Das ist richtig. Was ist hier also konkret der Grundraum, und wie genau sieht die Zähldichte aus?
In diesem Falle also die Menge aller möglichen Spielverläufe

25.07.2011, 20:45

Thermi

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Ich hätte nun verschiedene Ansätze:

$\begin{eqnarray*} \Omega = \left\{ 0,1\right\} \end{eqnarray*}$

Wobei 0 für den Fall steht, dass man keine "gute" Karte zieht und 1, dass man eben einen der gewünschten Buben zieht.

Oder:

$\begin{eqnarray*} \Omega = \left\{ 1,2,3\right\} \end{eqnarray*}$

Für den 1.,2.,3. Zug einer Karte.

Oder:

$\begin{eqnarray*} \Omega =\left\{(a,b)\in \mathbb R^{2} | a=0,1; b=1,2,3\right\} \end{eqnarray*}$

Um z.B. auszudrücken: "Erfolg (1) bei der zweiten gezogenen Karte (2)".

25.07.2011, 22:11

Math1986

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Im Prinzip gibt es hier auch mehrere mögliche Ansätze.

Fang mal erstmal mit einem Zug an, wie sehen da die möglichen Ergebnisse aus? Alsoalle möglichen Ausgänge.

Dann machst du mit den restlichen, insgesamt 6 Zügen weiter.

26.07.2011, 00:12

Thermi

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Naja beim ersten Zug gibt's die Möglichkeit, dass ich einen der Buben ziehe mit einer Wahrscheinlichkeit von $\begin{eqnarray*} \frac{2}{32} \end{eqnarray*}$ und die Möglichkeit, dass ich keinen ziehe mit der Wahrscheinlichkeit von $\begin{eqnarray*} \frac{30}{32} \end{eqnarray*}$ .

Das Ereignis, dass genau im zweiten Zug einer gezogen wird, müsste dann die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} \frac{30}{32}\cdot\frac{2}{31} \end{eqnarray*}$ haben und das Ereignis, dass bis zum zweiten Zug einer gezogen wird, $\begin{eqnarray*} \frac{2}{32}+\frac{30}{32}\cdot\frac{2}{31} \end{eqnarray*}$ .

Entsprechend für den dritten Zug...(ich gehe davon aus, da es sich um eine Klausuraufgabe für eine zeitlich recht knapp begrenzte Klausur handelt, ist nach dem insgesamt dritten Zug schon Schluss, auch wenn das Spiel natürlich ziemlich witzlos ist).

Hieltest du es dann für die sinnvollste Variante hier bei der Zähldichte der Anzahl der gezogenen Karten die Erfolgswahrscheinlichkeit für das Ziehen eines Buben zuordnen?

Hieße:
$\begin{eqnarray*} P(X_{1}=1)=\frac{1}{16} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X_{2}=1)=\frac{1}{16}+\frac{30}{32}\cdot\frac{2}{31} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X_{3}=1)=\frac{1}{16}+\frac{30}{32}\cdot\frac{2}{31}+\frac{30}{32}\cdot\frac{29}{31}\cdot\frac{2}{30} \end{eqnarray*}$

Wie würde man dann sicherstellen, dass die Summe aller Wahrscheinlichkeiten 1 ist? Einfach festlegen, dass $\begin{eqnarray*} X_{4} \end{eqnarray*}$ die Restwahrscheinlichkeit angibt, dass erst ab dem vierten oder einem weiteren Zug ein Bube auftaucht?

26.07.2011, 00:22

Math1986

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Zitat:

Original von Thermi
Naja beim ersten Zug gibt's die Möglichkeit, dass ich einen der Buben ziehe mit einer Wahrscheinlichkeit von $\begin{eqnarray*} \frac{2}{32} \end{eqnarray*}$ und die Möglichkeit, dass ich keinen ziehe mit der Wahrscheinlichkeit von $\begin{eqnarray*} \frac{30}{32} \end{eqnarray*}$ .

Das Ereignis, dass genau im zweiten Zug einer gezogen wird, müsste dann die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} \frac{30}{32}\cdot\frac{2}{31} \end{eqnarray*}$ haben und das Ereignis, dass bis zum zweiten Zug einer gezogen wird, $\begin{eqnarray*} \frac{2}{32}+\frac{30}{32}\cdot\frac{2}{31} \end{eqnarray*}$ .

Entsprechend für den dritten Zug...(ich gehe davon aus, da es sich um eine Klausuraufgabe für eine zeitlich recht knapp begrenzte Klausur handelt, ist nach dem insgesamt dritten Zug schon Schluss, auch wenn das Spiel natürlich ziemlich witzlos ist).

Soweit absolut richtig!

Zitat:

Original von Thermi
Hieltest du es dann für die sinnvollste Variante hier bei der Zähldichte der Anzahl der gezogenen Karten die Erfolgswahrscheinlichkeit für das Ziehen eines Buben zuordnen?

Zitat:

Original von Thermi
Hieße:
$\begin{eqnarray*} P(X_{1}=1)=\frac{1}{16} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X_{2}=1)=\frac{1}{16}+\frac{30}{32}\cdot\frac{2}{31} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X_{3}=1)=\frac{1}{16}+\frac{30}{32}\cdot\frac{2}{31}+\frac{30}{32}\cdot\frac{29}{31}\cdot\frac{2}{30} \end{eqnarray*}$

Ich verstehe deine Notation nicht, halte dich bitte an die Notation aus der Aufgabenstellung: "Es bezeichne X die Anzahl der gezogenen Karten."

Zitat:

Original von Thermi
Wie würde man dann sicherstellen, dass die Summe aller Wahrscheinlichkeiten 1 ist? Einfach festlegen, dass $\begin{eqnarray*} X_{4} \end{eqnarray*}$ die Restwahrscheinlichkeit angibt, dass erst ab dem vierten oder einem weiteren Zug ein Bube auftaucht?

Nein, Vorsicht, dein Grundraum umfasst insgesamt 31 mögliche Züge, es ist irgendwie einsichtig, dass in einem dieser Züge eine der gesuchten Karten gezogen werden muss!
Damit ist deine Zuordnung auch eine Zähldichte.

26.07.2011, 00:47

Thermi

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Okay also sage ich als Resultat:
Die Zufallsvariable X bezeichne die Anzahl der gezogenen Karten, bis der Erfolgsfall eintritt. In meiner Notation ändere ich also $\begin{eqnarray*} P(X_{1}=1) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} P(X=1) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} P(X_{2}=1) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} P(X=2) \end{eqnarray*}$ usw.

Auch wenn nun diese drei Wahrscheinlichkeiten zusammen nicht 1 ergeben, handelt es sich um eine Zähldichte, da logischerweise in den Fällen $\begin{eqnarray*} P(X=4) \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} P(X=31) \end{eqnarray*}$ irgendwann zu 100% ein Bube auftauchen muss. Diese Fälle schreibe ich nur alle nicht auf...

26.07.2011, 12:29

Math1986

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Zitat:

Original von Thermi
Okay also sage ich als Resultat:
Die Zufallsvariable X bezeichne die Anzahl der gezogenen Karten, bis der Erfolgsfall eintritt. In meiner Notation ändere ich also $\begin{eqnarray*} P(X_{1}=1) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} P(X=1) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} P(X_{2}=1) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} P(X=2) \end{eqnarray*}$ usw.

Nicht ganz, was gesucht ist ist $\begin{eqnarray*} P(X\leq 6) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Thermi
Auch wenn nun diese drei Wahrscheinlichkeiten zusammen nicht 1 ergeben, handelt es sich um eine Zähldichte, da logischerweise in den Fällen $\begin{eqnarray*} P(X=4) \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} P(X=31) \end{eqnarray*}$ irgendwann zu 100% ein Bube auftauchen muss. Diese Fälle schreibe ich nur alle nicht auf...

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