Konvergenz einer Potenzreihe

25.07.2011, 22:10	Berger2002	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz einer Potenzreihe Meine Frage: Für die folgende Potenzreihe ist der Konvergenzradius und die Darstellung als rationale Fkt. gesucht. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty k^3x^k \end{eqnarray}$ Meine Ideen:* Für mich sieht das nach geometrischer Reihe der Form c*q^k aus. Gibt es einen Trick, wie man das k^3 in eine Form ^k bringen kann?
25.07.2011, 22:27	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Wozu? Der Konvergenzradius der Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty a_k\cdot(z-z_0)^k \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} R=\frac 1 {\lim_{k\to\infty} \sqrt[k]{\|a_k\|}} \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} \lim_{k\to\infty} \sqrt[k]{\|a_k\|} \end{eqnarray}$ existiert. Gilt $\begin{eqnarray} \lim_{k\to\infty} \sqrt[k]{\|a_k\|}=0 \end{eqnarray}$ , so setze $\begin{eqnarray} R=\infty \end{eqnarray}$ . Gilt $\begin{eqnarray} \lim_{k\to\infty} \sqrt[k]{\|a_k\|}=\infty \end{eqnarray}$ , so setze $\begin{eqnarray} R=0 \end{eqnarray}$ . Untersuche daher $\begin{eqnarray} \lim_{k\to\infty} \sqrt[k]{\|a_k\|} \end{eqnarray}$ . Wie? Ibn Batuta
25.07.2011, 22:52	Berger2002	Auf diesen Beitrag antworten »
mit $\begin{eqnarray} a_{k}= k^3 \end{eqnarray}$ erhalte ich dann R=1. Richtig? Wie finde ich aber dann die rationale Funktion?
26.07.2011, 17:29	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
Zur Bestimmung der rationalen Funktion: Sei $\begin{eqnarray} f_k(x)=\sum_{\mu=0}^{\infty} \mu^k x^{\mu}\quad\quad (k\geq 0) \end{eqnarray}$ Wir sehen, dass der Konvergenzradius für alle k gleich 1 ist. (Ja, dein Ergebnis dafür ist richtig) Du weißt bestimmt, dass man Potenzreihen gliedweise differenzieren darf: $\begin{eqnarray} f_k'(x)=\sum_{\mu=1}^{\infty}\mu^{k+1}x^{\mu-1} \end{eqnarray}$ Daraus folgt: $\begin{eqnarray} x\cdot f_k'(x)=f_{k+1}(x)\quad\quad (k\geq 0) \end{eqnarray}$ Kommst du nun selber weiter?

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