Approximation der Identität

25.07.2011, 23:51

Gast11022013

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Approximation der Identität

Meine Frage:
Hallo, wie kann man zeigen, dass für

$\begin{eqnarray*} \varphi_{\epsilon}(x):=\frac{1}{\epsilon^n}\varphi(\frac{x}{\epsilon}) \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \int_{\Vert x \Vert > r}\varphi_{\epsilon}(x)dx \to 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \epsilon\to 0 \end{eqnarray*}$ ? (für jedes r>0)

Wobei $\begin{eqnarray*} \varphi\in\mathcal{L}^1(\mathbb R^n),\varphi\geq 0, \int \varphi=1 \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Habe mir gedacht, daß das identisch ist mit

$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb R^n\backslash K(0,r)}\varphi_{\epsilon}(x)dx \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb R^n}\varphi_{\epsilon}(x)dx-\int_{K(0,r)}\varphi_{\epsilon}(x)dx \end{eqnarray*}$

Das erste Integral könnte man mit der "Zwiebelformel" berechnen, oder?
Da würde man meiner Meinung nach schonmal auf Null kommen für $\begin{eqnarray*} \epsilon\to 0 \end{eqnarray*}$ .

Beim zweiten Integral weiß ichs nicht so genau.

Danke für Eure Hinweise.

26.07.2011, 00:17

leithian

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Hey,

substituier für x mal was passendes.

26.07.2011, 00:24

IfindU

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RE: Approximation der Identität
Du kannst mit Substitution zeigen, dass auch $\begin{eqnarray*} \int~\varphi_\epsilon(x) ~dx = 1 \end{eqnarray*}$ gilt.

Es hilft sich auch vorzustellen, wie sich das phi durch das epsilon ändert und das die Aussage davon ist. Das phi wird für kleine epsilon immer kleiner und flacht im Rand schnell ab, d.h. die ganze "Masse" des Integrals wird Richtung Mitte gedrückt.
Die Aussage heißt also: für jede Kugel um die Mitte findest du ein Epsilon, so dass das Integral dadrin 1 ist, und außerhalb "fast" 0 ist.

Deswegen wird dein Ansatz auch auf "1-1" statt "0-0" hinauslaufen.

Leider fällt mir zu der Stunde auch nichts richtiges dazu ein, außer dass Substitution im zweiten Integral das Epsilon in das Gebiet wandert und daraus K(0, r/eps) wird, wenn ich mich nicht gerade vertue. Anschaulich ist es dann klar, warum die für kleine Epsilon gleich sind, aber formal wird da noch einiges zu tun sein.

Edit: Sry leithian, saß an dem Text zu lange um deinen Post zu sehen Forum Kloppe

Forum Kloppe

26.07.2011, 00:37

leithian

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Hey ,

Das macht nichts, mein "Text" ist ja auch nicht so schön.
Das K(o,r/ep) stimmt auch. Dannach argumentiert man am besten,
dass der Integrant positiv ist und darum das Integral mit Inklusion von Mengen (bei uns Bällen die gegen den ganzen Raum gehen) verträglich ist. Dh man kann z.b monotone Konvergenz auf Funktion mal charakteristische Funktion von dem ep-Ball anwenden.

mfg

26.07.2011, 00:40

IfindU

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Schön

Freude

26.07.2011, 11:13

Gast11022013

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Wenn ich Dich/ Euch richtig verstanden habe, ist mein Ansatz in Ordnung, die Ausführung aber nicht.

Das erste Integral ist 1, korrekt?

Bleibt das zweite Integral zu berechnen.

Da muss wahrscheinlich heraus kommen, dass dies für $\begin{eqnarray*} \epsilon\to 0 \end{eqnarray*}$ gegen 1 strebt.

So ganz habe ich die Hinweise zum 2. Integral aber noch nicht verstanden.

Ich sollte jetzt substituieren - so viel habe ich verstanden.

Edit:

Dann bin ich (für das 2. Integral) bei:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\epsilon^{n-1}}\int_{K(0,\frac{r}{\epsilon})}\varphi(t) dt \end{eqnarray*}$

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26.07.2011, 11:28

IfindU

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Beim Substituieren musst du aufpassen, dass dich hier in n Dimensionen befindest - und die Determinante der Transformation ist nicht nur epsilon.

26.07.2011, 11:36

Gast11022013

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Achja, stimmt.

Hier muss ich die Transformationsformel benützen.

Ist dann nicht (der Betrag) der Determinante der Funktionalmatrix $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\epsilon^n} \end{eqnarray*}$ ?

26.07.2011, 11:39

IfindU

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Jop, und dadurch siehst du auch warum das Integral über phi_epsilon bereits für alle Epsilon normiert ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.07.2011, 11:44

Gast11022013

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Das habe ich jetzt nicht verstanden...

Jedenfalls stehe ich doch dann bei:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\epsilon^{2n}}\int_{K(0,r/\epsilon)}\varphi(t)d^nt \end{eqnarray*}$ - oder?

Tut mir leid, daß ich gerade so schwer von Begriff bin.

26.07.2011, 11:48

IfindU

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$\begin{eqnarray*} \int_{\Phi(\Omega)} f(y)\, \mathrm{d}y = \int_\Omega f(\Phi(x)) \left|\det(D\Phi(x))\right| \mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

Das ist die Formel für die Transformation, du bist auf der rechten Seite und willst auf die linke kommen.

(Und ich musste auch erst nachgucken, weil man je nach Richtung die Determinante multiplizieren oder dividieren muss, und ich es mir einfach nicht merken kann)

26.07.2011, 11:56

Gast11022013

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Versteh ich leider nicht, wie ich da hinkomme.

Hammer

Hammer

26.07.2011, 12:03

IfindU

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$\begin{eqnarray*} \int_\Omega \varphi(\underbrace{\Psi(x)}_{x/\epsilon}) \underbrace{\left|\det(D\Psi(x))\right|}_{1/\epsilon^n} \mathrm{d}x = ... \end{eqnarray*}$ Hier muss man nur noch die Transformationsformel der linken Seite mit den richtigen Werten hinschreiben.

Hoffe es ist klarer, wobei ich morgen ebenfalls zu dem Thema eine Prüfung habe und jetzt leider wieder lernen muss Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.07.2011, 12:05

Gast11022013

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Danke Dir und ich versuchs jetzt mal.

Viel Erfolg.

26.07.2011, 12:18

Wetal

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mir scheint, ihr versucht eine transformation rückgängig zu machen. das ist oft schwieriger, wie ich finde. ich würde beide integrale mit der linearen transformation

$\begin{eqnarray*} \Phi(x) = \varepsilon \cdot x \end{eqnarray*}$

berechnen. ist höchstens ein zweizeiler.

26.07.2011, 12:23

Gast11022013

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Kannst Du es vllt. aufschreiben?

Ich kriege gerade nichtmal mehr 1+1 hin.

26.07.2011, 12:31

Wetal

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$\begin{eqnarray*} \int \varphi_\varepsilon (x) \, dx = \int \frac{1}{\varepsilon ^n} \varphi \left( \frac{x}{\varepsilon} \right) \, dx = \int \frac{\varepsilon ^n}{\varepsilon ^n} \varphi \left(x \right) \, dx = 1. \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} \Phi(x) = \varepsilon \cdot x \end{eqnarray*}$ . überleg einfach wie die jacobimatrix dann aussieht? das Phi bildet von R^n nach R^n ab, das heißt

$\begin{eqnarray*} \Phi_i(x) = \varepsilon \cdot x_i \end{eqnarray*}$

wie sieht dann die determinante aus? beim zweiten integral geht offensichtlich

$\begin{eqnarray*} K_{\frac{r}{\varepsilon}}(0) \rightarrow \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ und das rechte integral somit auch gegen 1, wenn man gleiche tranformation durchgeführt hat.

26.07.2011, 12:46

Gast11022013

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Die Determinante muesste dann $\begin{eqnarray*} \epsilon^n \end{eqnarray*}$ sein.

Für das Integral über ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ kommt dann 1 heraus.

Für das Integral über $\begin{eqnarray*} K(0,r) \end{eqnarray*}$ hat man doch dann:

$\begin{eqnarray*} \int_{K(0,r\epsilon)}\varphi(x) dx \end{eqnarray*}$ .

Wenn jetzt $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ gegen 0 strebt, strebt doch das Integral gegen 1, da man sich ja sozusagen der Integration über ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ annähert und da kommt ja 1 heraus.

verwirrt

verwirrt

Zusammen käme also 0 heraus für Epsilon gegen 0. Sollte man ja auch zeigen.

[Hoffentlich nicht totaler Blödsinn!]

26.07.2011, 13:01

Wetal

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zuerst hattest du integral über $\begin{eqnarray*} K(0,r) \end{eqnarray*}$ . nach der transformation musst du allerdings $\begin{eqnarray*} \Phi ^{-1} (K(0,r)) = K\left(0, \frac{r}{\varepsilon}\right) \end{eqnarray*}$ nehmen und nicht $\begin{eqnarray*} K(0,\varepsilon r) \end{eqnarray*}$ . vergleiche mit

Zitat:

Original von IfindU
$\begin{eqnarray*} \int_{\Phi(\Omega)} f(y)\, \mathrm{d}y = \int_\Omega f(\Phi(x)) \left|\det(D\Phi(x))\right| \mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

sonst würde ja auch für epsilon gegen 0 die kugel nicht gegen R^n streben.

26.07.2011, 13:08

Gast11022013

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Ich muss wirklich irgendwie exakter werden und besser nachdenken.

Hammer

Hammer

DANKE

26.07.2011, 13:20

leithian

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Hey,

für den formalen Beweis dass das Integral nun tatsächlich gegen 1 geht setzt man

$\begin{eqnarray*} f_\epsilon (x) = \varphi (x) \chi_{r / \epsilon}(x) \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} \chi_{r/ \epsilon}(x) \end{eqnarray*}$ die charakteristische Funktion von $\begin{eqnarray*} K (0 , \frac{r}{ \epsilon} ) \end{eqnarray*}$ .

Dann $\begin{eqnarray*} f_ \epsilon (x) \nearrow \varphi (x) \end{eqnarray*}$ und somit mit Satz von der monotonen Konvergenz die Behauptung.

26.07.2011, 14:48

Gast11022013

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Mal eine ganz blöde Frage:

Beim Integrieren per Substitution bzw. im mehrdimensionalen Fall bei der Transformationsregel kann man sozusagen auf der rechten oder linken Seite starten.

Woher weiß man, was geschickter ist?

Startet man auf der Seite, wo man über V integriert, wobei $\begin{eqnarray*} \phi:U\to V \end{eqnarray*}$ die "Transformation" sein soll, so ist das m.E. schwieriger als anders herum...

Trotzdem scheint man das - so, wie hier - ab und an zu machen.

Bei den Wikipedia-Beispielen zu "Integration durch Substitution" fängt man bei den meisten Beispielen auf der anderen Seite an, dort, wo man über U integriert.

Gibt es da eine Regel - oder ist das einfach von Aufgabe zu Aufgabe verschieden und man sollte schauen, was jeweils einfacher ist?

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