rechtsseitiger funktionswert an polstelle

26.07.2011, 08:52

kasi

rechtsseitiger funktionswert an polstelle

Hallo,

ich hänge gerade an folgender aufgabe. gegeben ist folgende funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{-x^4+x^3+6x^2-x-5}{x^3+x^2-4x-4} \end{eqnarray*}$

die lücken, pole, nullstellen und asymptote habe ich gefunden. durch eine schließbare lücke reduziert sich die funktion auf:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{-x^3+2x^2+4x+5}{x^2-4} \end{eqnarray*}$

jetzt soll ich die rechtsseitugen funktionswerte an den polstellen $\begin{eqnarray*} (~\pm2~) \end{eqnarray*}$ berechnen.

die lösung ist in der aufgabe mit angegeben:

$\begin{eqnarray*} f(2+\epsilon)\approx\frac{3}{4\epsilon} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(-2+\epsilon)\approx\frac{3}{-4\epsilon} \end{eqnarray*}$

ich habe bereits versucht diese werte zu berechnen. einmal durch einfaches einstezten der Zahl $\begin{eqnarray*} 2+\epsilon \end{eqnarray*}$ in die funktionsgleichung und einmal als grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2+\epsilon~;~\epsilon \to 0}(\frac{-x^3+2x^2+4x+5}{x^2-4}) \end{eqnarray*}$

Beides war nicht zielführend, allerdings ist mir auch nicht klar ab wann das ungefähr ins spiel kommt.
Vielleicht kann mir jemand den richtigen ansatz verraten. danke schonmal im vorraus smile

26.07.2011, 08:58

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: rechtsseitiger funktionswert an polstelle

Zitat:

Original von kasi
ich habe bereits versucht diese werte zu berechnen. einmal durch einfaches einstezten der Zahl $\begin{eqnarray*} 2+\epsilon \end{eqnarray*}$ in die funktionsgleichung

Was kommt denn dabei raus?

26.07.2011, 09:08

kasi

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} f(2+\epsilon)=\frac{-(2+\epsilon)^3+2(2+\epsilon)^2+4(2+\epsilon)+5}{(2+\epsilon)^2-4} \end{eqnarray*}$

so jetzt weis ich nicht genau wie ich ansetzen soll, einfach ausmultiplizieren oder kann man hier schon vereinfachen? weil egal was ich mache - es wird komplizierter anstatt einfacher...

26.07.2011, 09:13

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, ich hab's jetzt nicht gerechnet, aber ich würde erstmal die Klammern ausmultiplizieren.

26.07.2011, 09:45

kasi

Auf diesen Beitrag antworten »

ich hoffe ich habe mich nicht verrechnet....

[attach]20676[/attach]

26.07.2011, 10:05

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: rechtsseitiger funktionswert an polstelle

Zitat:

Original von kasi
durch eine schließbare lücke reduziert sich die funktion auf:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{-x^3+2x^2+4x+5}{x^2-4} \end{eqnarray*}$

Heidinei. Man muß aber auch alles nachrechnen. unglücklich

Richtig ist: $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{-x^3+2x^2+4x-5}{x^2-4} \end{eqnarray*}$

Außerdem hast du auf $\begin{eqnarray*} (\epsilon + 2)^2 \end{eqnarray*}$ die binomische Formel falsch angewendet.

26.07.2011, 10:41

kasi

Auf diesen Beitrag antworten »

ohje so viele leichtsinnsfehler... vielen dank an klarsoweit!

jetzt komme ich auf folgendes ergebnis:

[attach]20677[/attach]

für sehr kleine $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ erhalte ich dann das angegebene ergenis

$\begin{eqnarray*} f(2+\epsilon)\approx\frac{3}{4\epsilon} \end{eqnarray*}$

muss ich um auf dieses ergebis zu kommen den handschriftlichen ausdruck als grenzwert für $\begin{eqnarray*} \epsilon\to 0 \end{eqnarray*}$ berechnen oder darf man solche abschätzungen einfach machen?

26.07.2011, 11:00

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Das sind dann eher so "jedem einleuchtende" argumentative Überlegungen:

- für kleine epsilon spielen die ersten beiden Brüche keine Rolle, weil sie nahe Null liegen.
- beim 3. Bruch hat das 4*epsilon die dominante Rolle, das epsilon² spielt da keine tragende Rolle.

26.07.2011, 17:46

kasi

Auf diesen Beitrag antworten »

besten dank smile

Neue Frage »

Antworten »

rechtsseitiger funktionswert an polstelle

Verwandte Themen