Integralrechnung - Zeige durch Substitution

26.07.2011, 12:10

Tyar

Integralrechnung - Zeige durch Substitution

Hallo, ich brauch mal wieder Hilfe ^^
und zwar ist die Aufgabe:
Es sei f stetig. Zeigen sie durch geeignete Substitution:
$\begin{eqnarray*} \int_0^\pi \! x f(sin x) \, dx = \frac{\pi }{2} \int_0^\pi \! f(sin t) \, dt \end{eqnarray*}$

Berechnen Sie damit das Integral $\begin{eqnarray*} \int_0^\pi \! \frac{x \sin(x) }{1 + cos^{2}x } \, dx \end{eqnarray*}$

Also ich nehme mal an, dass es damit zu tun hat, dass $\begin{eqnarray*} \sin(2\pi) \end{eqnarray*}$ dasselbe ist wie $\begin{eqnarray*} \sin(\pi) \end{eqnarray*}$
Also substituiere ich 2*x = t, dann muss ich ja die obere Integralgrenze auf 2PI setzen. Dann halbier ich die wieder und auch das t/2 vor dem f und weil t/4 = x/2 ist x/2 dann PI/2.
Aber wie schreibt man das hin ? xD

26.07.2011, 14:31

klarsoweit

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RE: Integralrechnung - Zeige durch Substitution
Ich muß sagen, ich habe etwas gebraucht, bis der Groschen gefallen ist. smile

Verwende die Substitution x = u + pi.

26.07.2011, 16:05

Wetal

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hmm.. was ist denn da der trick? irgendwie kriege ich's nicht hin ^^

26.07.2011, 17:13

HAL 9000

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Vielleicht hat klarsoweit sich verschrieben, oder er meint etwas anderes .. ich jedenfalls finde die leicht andere Substitution

$\begin{eqnarray*} x = \pi - u \end{eqnarray*}$

etwas passender.

27.07.2011, 08:18

klarsoweit

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@Hal9000: Stimmt, damit geht es etwas direkter. smile

28.07.2011, 07:24

Calvin

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RE: Integralrechnung - Zeige durch Substitution
Da sich der Threadersteller gestern nicht mehr gemeldet hat, hänge ich mich als neugieriger Leser einfach mal dran.

Zitat:

Original von Tyar
Hallo, ich brauch mal wieder Hilfe ^^
und zwar ist die Aufgabe:
Es sei f stetig. Zeigen sie durch geeignete Substitution:
$\begin{eqnarray*} \int_0^\pi \! x f(sin x) \, dx = \frac{\pi }{2} \int_0^\pi \! f(sin t) \, dt \end{eqnarray*}$

Wenn ich links $\begin{eqnarray*} x=\pi-t \end{eqnarray*}$ substituiere komme ich auf den Ausdruck $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi}~(\pi-t)f(\sin t)\,\dd t \end{eqnarray*}$

Aber wie geht es dann weiter? Wie komme ich auf das Ergebnis $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}~f(\sin{x})\,\dd t \end{eqnarray*}$ verwirrt

EDIT

eben ist der Groschen gefallen. Wenn man das Integral auseinanderzieht und sich das ursprüngliche Integral anschaut, ist der letzte Schritt nur noch Formsache.

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