Diff.Gleichung mit AWP

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26.07.2011, 12:55	Goofy2	Auf diesen Beitrag antworten »
Diff.Gleichung mit AWP Meine Frage: Lösen Sie mit Hilfe des Potenzreihensatzesfolgendes Anfangswertproblem: $\begin{eqnarray} y''-y=0; y(0)=1, y'(0)=1 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ansatz: $\begin{eqnarray} y(x) = \sum\limits_{k=0}^\infty a_kx^{k} <br /> <br /> y'(x) = \sum\limits_{k=1}^\infty a_kkx^{k-1} <br /> <br /> y''(x) = \sum\limits_{k=2}^\infty a_kk(k-1)x^{k-2} \end{eqnarray}$ Einsetzen: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=2}^\infty a_kk(k-1)x^{k-2} - \sum\limits_{k=0}^\infty a_kx^{k} = 0 \end{eqnarray}$ Danach sollte der Koeffizientenvergleich kommen, doch den kapier ich nich so ganz...genauso wie die weiteren Schritte danach. Bitte um Hilfe! Danke!
26.07.2011, 13:13	Wetal	Auf diesen Beitrag antworten »
es gilt $\begin{eqnarray} y(x) = y(0) + y'(0) \cdot x + \frac{y''(0)}{2} x^2 + \ldots = \sum_{k=0}^\infty \frac{y^{(k)}(0)}{k!} x^k \end{eqnarray}$ du kennst offensichtlich $\begin{eqnarray} y(0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y'(0) \end{eqnarray}$ . versuche nun mit der differentailgleichung herauszufinden, was $\begin{eqnarray} y'''(0) \end{eqnarray}$ ist und alle andere $\begin{eqnarray} y^{(k)}(0) \end{eqnarray}$
26.07.2011, 15:12	Goofy2	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist der Ansatz oben falsch? Ich würde gerne da anknüpfen, da wir das in der Uni auch so gemacht haben. Wie gesagt als nächstes soll der Koeffizientenvergleich stattfinden und dann sogg. "Hoch-shiften"
26.07.2011, 15:55	Wetal	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diff.Gleichung mit AWP nein, dein ansatz ist nicht falsch. schreib es einfach aus. führt zum selben ergebnis. durch die voraussetzung gilt ja $\begin{eqnarray} a_0=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_1=1 \end{eqnarray}$ . vergleiche nun die koeefizienten der beiden polynome $\begin{eqnarray} y(x) = y''(x) \end{eqnarray}$ bzw $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty a_kx^{k} =\sum\limits_{k=2}^\infty a_kk(k-1)x^{k-2} \end{eqnarray}$ dann gilt z.b. sofort $\begin{eqnarray} a_0 x^0 = a_2 \cdot 2 x^0 \end{eqnarray}$ damit ist $\begin{eqnarray} a_2 = 1/2 \end{eqnarray}$
07.08.2011, 10:26	Goofy2	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube ich habs jetzt verstanden. $\begin{eqnarray} y''=y<br /> <br /> a_221x^0+a_332x^1+a_443x^2 = a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2<br /> <br /> => a_0 = 1, a_1=0 \end{eqnarray}$
07.08.2011, 10:32	Goofy2	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun noch die einzelnen Glieder miteinander vergleichen: $\begin{eqnarray} <br /> 2a_2=a_0 => a_2=0,5<br /> 6a_3=a_1 => a_3=0<br /> 12a_4=a_2 => a_4=1/24<br /> <br /> =>y=1+(1/2)x^2+(1/24)x^4+...=\sum\limits_{k=0}^n (1/2k!)x^{2k} \end{eqnarray*}$
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07.08.2011, 11:04	Wetal	Auf diesen Beitrag antworten »
wie kommst du darauf, dass $\begin{eqnarray} a_1=0 \end{eqnarray}$ ist?
07.08.2011, 18:12	Goofy2	Auf diesen Beitrag antworten »
oh entschuldigung...in der aufgabe heißt es y'(0)=0 und nicht y'(0)=1 .... daher kommt a1=0
24.08.2011, 19:43	Polarbaer46	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wir haben so ziemlich dieselbe Aufgabe in ner Übungsgruppe gerechnet auch mit Koeffizientenvergleich. Der Koeffzientenvergleich bei deiner Aufgabe müsste so aussehen: (k+2) (k+1)ak+2 -ak = 0 dann haben wir durch die Bedingungen am Anfang a0 = 1 und a1 = 0 Als nächstes haben wir damals bei der anderen Aufgabe die Gleichung nach ak+2 aufgelöst, was bei dir dann so aussehen müsste: ak+2 = ak / ( (k+2) (k+1) ) Damit haben wir die weiteren "ak"-Werte bestimmt. a3 = 1/6 a4 = ... Hm hab grade meine alte Aufgabe nachgerechnet....und irgendwie haut das nicht hin :/ Eigentlich dachte ich man errechnet mit dem "ak+2"-Wert die Werte für die Funktion y(x) also die gesuchte Funktion?!

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