Differenzialgleichung - Verständnis

26.07.2011, 17:09	TehKah	Auf diesen Beitrag antworten »
Differenzialgleichung - Verständnis Meine Frage: Hallo zusammen, da meine Schulzeit eine Weile her ist, habe ich derzeit große Probleme eine Differenzialgleichung zu verstehen. Folgendes sei gegeben: drei Variablen, undefinierter Größe: IG IVS AP zwei Differenzialgleichungen: dIG/dt=(1-IVS/AP)IG dIVS/dt=-(4-AP)²IVS+APIVS² gesucht: der Wertebereich der drei Variablen, um das System in ein Fliessgleichgewicht zu bringen Meine Ideen:* Ich weiß nicht, ob das ausreicht, um von euch schon eine Antwort erwarten zu können. Ich weiß derzeit nur, das es einen stabilen Endzustand bei "2" gibt. Allerdings wird in der Arbeit ein Fließgleichgewicht beschrieben, das ich nicht erreiche. Als Literaturhinweis kann ich noch folgenden Link angeben, auf dem die Formeln beruhen: http://d-nb.info/961693622/34 S.65, Formel 3-1 f Besten Dank für jede Mühe, Tino
27.07.2011, 10:15	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Verwendet man die Bezeichnungen aus der von dir genannten Quelle, dann lautet dein Differentialgleichungssystem $\begin{eqnarray} \frac{dF}{dt}=\left ( 1-\frac{E}{b}\right )F \end{eqnarray}$ __________(1) $\begin{eqnarray} \frac{dE}{dt}=-(4-b)^2E+bF^2 \end{eqnarray}$ ______________(2) Im Gleichgewicht gibt es keine zeitlichen Änderungen. Dort verschwinden also die zeitlichen Ableitungen, womit sich (1), (2) vereinfacht zu $\begin{eqnarray} 0=\left ( 1-\frac{E_0}{b}\right )F_0 \end{eqnarray}$ __________(3) $\begin{eqnarray} 0=-(4-b)^2E_0+bF_0^2 \end{eqnarray}$ ______________(4) Die Größen im Gleichgewicht werden mit dem Index 0 gekennzeichnet. Ignoriert man die triviale Lösung $\begin{eqnarray} F_0=0 \end{eqnarray}$ , dann folgt aus (3 $\begin{eqnarray} E_0=b \end{eqnarray}$ ________(5) Einsetzen von (5) in (4) liefert dann $\begin{eqnarray} F_0=\pm(4-b) \end{eqnarray}$ ______(6) Das entspricht Vektorformel (3.3) auf S.63, also $\begin{eqnarray} (F_0,E_0)=(4-b,b) \end{eqnarray}$ _______(7) (Im folgenden wird aus (6) nur das positive Vorzeichen berücksichtigt.) In Abbildung 3.4 auf S.64 werden die beiden Geradengleichungen (5) und (6) grafisch dargestellt (in Abhängigkeit von b). Beide Geraden schneiden sich bei b=2 und nehmen dann die Werte E=2 und F=2 an. Damit ist das "Gleichgweicht 2" erklärt.

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