Dualitaet

26.07.2011, 19:33

fleurita

Dualitaet

Meine Frage:
bin dabei duale räume, abbildungen.... zu kapieren und glaub habs geblickt. Hab mir dazu die aufgabe ausgedacht: könnt ihr gucken ob alles stimmt?

Sei $\begin{eqnarray*} f: V \to W, \begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix}^T \mapsto \begin{pmatrix} -x+2y+z \\ 2y-3z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} B=\left\{e_1, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$ von V und $\begin{eqnarray*} C=\left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$ von W

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} Mat^B_C(f)=\begin{pmatrix} -2 & 5 & 17 \\ 1 & -3 & -11 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

es gilt: $\begin{eqnarray*} v^*_j(v_i)=\delta_{ij} \end{eqnarray*}$ d.h. $\begin{eqnarray*} v^*_1(v_1)=\begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix} \cdot e_1=a=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vdots \end{eqnarray*}$
analog....

$\begin{eqnarray*} \vdots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 1 \\ 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 1 & 2 & 3 & | & 0 \end{pmatrix} \sim> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 1 \\ 0 & 1 & 0 & | & -2 \\ 0 & 0 & 1 & | & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow v^*_1=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vdots \end{eqnarray*}$
analog....

$\begin{eqnarray*} \vdots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v^*_2=\begin{pmatrix} 0 & 3 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} v^*_3=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vdots \end{eqnarray*}$
analog duale basis von C....: $\begin{eqnarray*} C^*=\left\{\begin{pmatrix} 2 & -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

die rückzugsabb. ist $\begin{eqnarray*} f^*:W^* \to V^* \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \psi \mapsto \psi \circ f \end{eqnarray*}$ ; d.h.

$\begin{eqnarray*} e^1 \mapsto \begin{pmatrix} 2 & -1 \end{pmatrix}\mapsto w^*_1 \cdot Mat^B_C(f)=\begin{pmatrix} -5 & 13 & 45\end{pmatrix}=-5 v^*_1+53v^*_2+156v^*_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^2 \mapsto \begin{pmatrix} -1 & 1 \end{pmatrix}\mapsto w^*_2 \cdot Mat^B_C(f)=\begin{pmatrix} 13 & -8 & -28\end{pmatrix}=13 v^*_1-23v^*_2-87v^*_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow Mat^{C^*}_{B^*}(f^*)=\begin{pmatrix} -5 & 13 \\ 53 & -23 \\ 156 & -87 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

komisch.... im skript steht aber, dass einfach nur das transponierte raus kommt...

27.07.2011, 12:59

fleurita

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RE: Dualitaet
also ich hab erst die abbildungsmatrix bzgl. der basen bestimmt, dann die dualen basen und schließlich die abbildungsmatrix ber dualen abbildung.
aber irgwie kommt ein anderes ergebnis raus als eig sollte....

hat jemand gesehen was ich falsch gemacht hab? Blumen

27.07.2011, 18:55

gonnabphd

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Hi,

Rechenfehler hast du keine, soweit ich sehe.
Dein Fehler ist folgender: Wenn du f in Koordinaten ausdrückst, d.h.

$\begin{eqnarray*} Mat^B_C(f)=\begin{pmatrix} -2 & 5 & 17 \\ 1 & -3 & -11 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann ist in diesen Koordinaten ganz einfach $\begin{eqnarray*} v_i = e_i, \; w_i = e_i \end{eqnarray*}$ . Das heisst die dualen Abbildungen sind in den Koordinaten denkbar einfach (nämlich einfach die Transponierten der $\begin{eqnarray*} e_i \end{eqnarray*}$ ).

Was du gemacht hast. Du hast die dualen Basen in den Standard-Koordinaten gefunden. D.h. du musst dann nicht schauen, wohin die durch $\begin{eqnarray*} Mat_C^B(f) \end{eqnarray*}$ abgebildet werden (denn dies ist die Darstellung von f in B-C-Koordinaten), sondern wohin die durch f in Standard-Koordinaten abgebildet werden.

Dort hat f die Abbildungsmatrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann bekommst du bspw.

$\begin{eqnarray*} w^1 &=& \begin{pmatrix} 2 & -1 \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} 2 & -1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 5\end{pmatrix} \\&=& -2 \cdot \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1\end{pmatrix} + 5\cdot \begin{pmatrix} 0 & 3 & -2\end{pmatrix} + 17 \cdot\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1\end{pmatrix} \\&=& -2 v^1 + 5v^2 + 17v^3 \end{eqnarray*}$

Wie das auch sein sollte. Wink

27.07.2011, 19:59

fleurita

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vielen dank für deine antwort! Blumen

hab leider nit alles verstanden was du gesagt hast.... meinst du, dass wenn ich die abbildungsmatrix habe bzgl. nicht kanonischer basen, dass ich dann die matrix bzgl. kanonischer basen bestimmen muss und den rest hab ich sonst richtig gemacht?

tut mir echt leid falls das jetz grotten falsch ist, aber dualraum ist echt nit mein steckenpferd böse

....

27.07.2011, 22:30

gonnabphd

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Zitat:

meinst du, dass wenn ich die abbildungsmatrix habe bzgl. nicht kanonischer basen, dass ich dann die matrix bzgl. kanonischer basen bestimmen muss und den rest hab ich sonst richtig gemacht?

Das kann man so machen, ist aber ein Riesen-Umweg.

Du musst einfach im Überblick behalten, in welchen Koordinaten du gerade arbeitest. Was du gemacht hast, war folgendes:

Du hast erst die Abbildung f, welche bzgl. der kanonischen Basen gegeben war, in die Darstellung bzgl. der Basen B und C übersetzt.
Dann hast du die Darstellung der dualen Basen bzgl. der Standardbasis herausgefunden
Dann hast du für die Rückzugsabbildung die Abbildung f in der Darstellung bzgl. der Basen B und C genommen und geschaut wohin die dualen Basen - dargestellt bzgl. der Standardbasis - abgebildet werden.

Da ist es kein Wunder, dass da nix richtiges rauskommt. Was du machen könntest: Du kannst die Darstellung von f ebenfalls bzgl. der Standardbasis nehmen (so wie oben beschrieben). Dieser Weg ist jedoch viel zu umständlich.

Besser ist: Du findest die Darstellung der dualen Basis jeweils bzgl. der Basen B und C und rechnest immer alles bzgl. der Basen B und C.

Was ist die Darstellung der Basen B und C bzgl der Basen B und C?

Naja, ganz einfach B bzgl. B dargestellt sind einfach die kanonischen Einheitsvektoren und C bzgl. C dargestellt sind ebenfalls einfach die kanonischen Einheitsvektoren. Und selbiges gilt für die dualen Abbildungen. Damit findet man dann

$\begin{eqnarray*} f^\ast w_1^\ast = e^1\circ Mat_C^B(f) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot Mat^B_C(f)=\begin{pmatrix} -2 & 5 & 17 \end{pmatrix} = -2 e^1 + 5e^2 + 17e^3 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} f^\ast w_2^\ast = e^2 \circ Mat_C^B(f) = e^2 \mapsto \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot Mat^B_C(f)=\begin{pmatrix} 1 & -3 & -11 \end{pmatrix} = e^1 -3e^2 -11 e^3 \end{eqnarray*}$

D.h. die darstellende Matrix bzgl. der dualen Basen C* und B* von f* ist

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 & 1\\ 5&-3 \\ 17&-11 \end{pmatrix} = Mat_C^B(f)^T \end{eqnarray*}$

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