Parallelogramm Höhenvektor rechnen und Fläche und Determinante

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ringobingo2011 Auf diesen Beitrag antworten »
Parallelogramm Höhenvektor rechnen und Fläche und Determinante
Seiten eines Parallelogramms:



Bestimmen Sie den Höhenvektor h des Parallelogramms, der senkrecht auf der Grundseite a1 steht, und berechnen Sie damit die Fläche des Parallelogramms.

Also um den Höhenvektor h zu berechnen gehe ich wie folgt vor:
Projektion von a2 auf a1:



h=a2-p



Fläche=|a1|*|h|

|a1|=
|h|=
F=

Stimmt der Weg den ich eingeschlagen habe?

Überprüfen Sie das Ergebnis mit Hilfe einer geeigneten Determinante.

Da weiss ich nun nicht wie dich die Determinante bestimmen soll und wie damit die Fläche gerechnet wird.

Würde mich über jeden Ansatz freuen.

MFG
ringobingo2011
ringobingo2011 Auf diesen Beitrag antworten »

Folgendes habe ich im Internet gefunden

Für die Determinante muss man die Skalarprodukte von
<a1,a1> und <a1,a2> und <a2,a2> berechnen.


Dann setze ich diese Ergebnisse ein:

=Resultat=

Und da kommt genau wie vorher

Aber wieso wird das gemacht? Ich bin noch nicht daruf gekommen wieso man es so macht.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Den Höhenvektor hatten wir in dem anderen Thread schon ausgerechnet, die Fläche stimmt auch.

Kennst du das Kreuzprodukt und seine geometrische Bedeutung?

Ist dir der Zusammenhang zwischen Skalarprodukt und Kreuzprodukt klar?
ringobingo2011 Auf diesen Beitrag antworten »

Den Höhenvektor hatten wir in dem anderen Thread schon ausgerechnet, die Fläche stimmt auch.
Ja nur hatten wir beim Dreieck eine andere Formel benutzt smile Ich wollte dies nun nocheinmal mittel Projektion angeben


Kennst du das Kreuzprodukt und seine geometrische Bedeutung?

Nein, ich weiss zwar wie man es bildet jedoch kenne ich die Bedeutung nicht

Ist dir der Zusammenhang zwischen Skalarprodukt und Kreuzprodukt klar?

Nein
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Die Definition des Skalarproduktes:




Damit ergibt sich für das Kreuzprodukt:



Jetz vergeliche das einmal mit der von dir gebildeten Determinante.
ringobingo2011 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Definition des Skalarproduktes:



Mit dem Skalarprodukt berechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren.


Damit ergibt sich für das Kreuzprodukt:



Das Kreuzprodukt der Vektoren x und y ist ein Vektor, der senkrecht auf der von den beiden Vektoren aufgespannten Ebene steht. (damit man die Fläche berechnen kann.

Jetz vergeliche das einmal mit der von dir gebildeten Determinante.

Jetzt würde ich sagen, dass die Determinante genau das macht. Aber wie ich sie bilde ist mir immer noch nicht klar
 
 
ringobingo2011 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich bin nun mal wie folgt vorgegangen um die Determinante zu bestimmen:







Meine Überlegung ist doch richtig oder ?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Jap, das ist richtig.


Den Zusammenhang kann man sich auch relativ leicht klar machen, wenn man sich überlegt, dass der Betrag des Kreuzproduktes axb sowohl die Fläche des Parallelogramms ist, das von a und b aufgespannt wird, als auch die Höhe des von a, b und axb aufgespannten Spats.

Nun ist das Volumen des Spats gerade die Determinante der Matrix, die die Vektoren enthält, also die Wurzel daraus ist die Fläche des von den Vektoren a und b eingschlossenen Parallelograms.
ringobingo2011 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok vielen Dank. Deine Hinweise waren genau richtig, damit dann auch bei mir endlich der Groschen gefallen ist.

So und jetzt wieder ab zu meinen Drehmatrizen und Spieglungsmatrizen.

Nochmals vielen vielen Dank
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