FE-Methode für inhomogenem RWP

27.07.2011, 00:18	Physinetz	Auf diesen Beitrag antworten »
FE-Methode für inhomogenem RWP Hallo, habe eine Aufgabe, bei der ich mittels Finite Elemente Methode folgende DGL lösen soll: $\begin{eqnarray} u''+2u=x \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} u(0)=\frac{-4}{\pi } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u(\pi)=\frac{4}{\pi } \end{eqnarray}$ . Dies soll mittels Galerkin Ansatz gelöst werden, hoffe das ist ein Begriff..?! Die Ansatzfunktionen bzw. Testfunktionen sind $\begin{eqnarray} \phi_1=sin(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \phi_2=cos(x) \end{eqnarray}$ Wenn ich nun gemäß Definition die Massenmatrix, die Steifigkeitsmatrix und die rechte Seite aufstelle erhalte ich (siehe PDF Anhang). Die Frage ist, die sich mir stellt: Wieso werden hier die inhomogenen Randwertprobleme gleich automatisch richtig gesetzt, dass ich automatisch am Rand $\begin{eqnarray} u(0)=\frac{-4}{\pi } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u(\pi)=\frac{4}{\pi } \end{eqnarray}$ erhalte? In meinem Skript steht nämlich, dass bei inhomogenen RWP man die rechte Seite ein wenig abändern muss, dass ist hier aber nicht der Fall. Bekomme ich bei der Verwendung von einer cos-Funktion automatisch die richtigen Randwerte, sicher nicht oder?Das ist hier zufall das es genau so gut aufgeht oder? Angenommen ich wöllte als Randwerte: $\begin{eqnarray} u(0)=\frac{-8}{\pi } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u(\pi)=\frac{8}{\pi } \end{eqnarray}$ Wie müsste ich dann alles abändern? Nur die rechte Seite? Hoffe jemand kann mir bis morgen mittag noch schnell helfen, besten Dank!
27.07.2011, 11:42	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann die Randbedingungen "homogenisieren", indem man die ursprüngliche Unbekannte u(x) durch eine neue Unbekannte w(x) ersetzt. Das geschieht durch folgende Substitution: $\begin{eqnarray} u(x)=w(x)+\frac{8}{\pi^2}x-\frac{4}{\pi} \end{eqnarray}$ __________(1) Einsetzen in die Differenzialgleichung liefert ein neues Problem für w(x) $\begin{eqnarray} w''+2w=x-\frac{16}{\pi^2}x+\frac{8}{\pi} \end{eqnarray}$ __________(2) Die "rechte Seite" ist jetzt zwar komplizierter, aber wir haben dafür homogene Randbedingungen für die neue Funktionn w(x). Diese lauten jetzt $\begin{eqnarray} -\frac{4}{\pi}=u(0)=w(0)+\frac{8}{\pi^2}\cdot 0-\frac{4}{\pi} \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} w(0)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} +\frac{4}{\pi}=u(\pi)=w(\pi)+\frac{8}{\pi^2}\cdot \pi-\frac{4}{\pi} \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} w(\pi)=0 \end{eqnarray}$ -------------------- Anschaulich kann man dies wie folgt interpretieren: Das ursprüngliche Problem beschreibt die stationäre Temepraturvereteilung u(x) innerhalb eines Stabes, der im Intervall [0;pi] mit den Randtemperaturen $\begin{eqnarray} T=-4/\pi \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} T=+4/\pi \end{eqnarray}$ eingespannt ist, wobei ein ortsabhängiger "Glühfaden" im Stab Wärme erzeugt. Die Wärmeleistung des Glühfadens nimmt von links nach rechts linear zu (gemäß der Funktion x auf der rechten Seite). Beim neuen Problem für w(x) werden beide Stabenden auf der konstanten Temperatur w=0 gehalten, wobei man zum Ausgleich die ortsabhängige Leistung des Glühfadens im Stab so geändert, dass beide Temperaturverteilungen durch die Funktion (1) zusammenhängen.

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